مقدار ویژه و بردار ویژه ماتریس

مقدار ویژه (eigenvalue) و بردار ویژه (eigenvector)، برای درک درست تبدیلهای خطی (Linear Transformations)، بسیار مهم و حیاتی هستند. عبارت eigen در زبان آلمانی (German) تقریبا به معنی خود (self) است و بدین ترتیب میتوان مقدار و بردار ویژه را مقدار و بردار منتسب به خود ماتریس دانست. مقدار و بردار ویژه، از مباحث مهم در جبر خطی است که کاربردهای متعددی در علم داده (Data Science) و یادگیری ماشین (Machine Learning) دارد. این مفاهیم ریاضی، دید بسیار خوبی نسبت به رفتار تبدیلهای خطی به ما میدهند که به دنبال آن توانمندی در درک بهتر ساختار داده‌ها و ساده‌سازی مجموعه داده‌های پیچیده با تعداد شاخصهای زیاد را ایجاد میکند. این توانمندی نیز منجر به پردازش بهتر داده‌ها در جهت نیل به اهداف اصلی در کاربردهای متعدد آن میشود. به لحاظ ریاضی نیز میتوان گفت که مقدار و بردار ویژه، مهمترین جنبه مرتبط با ساختار تئوری ماتریسهای مربع است.

مقدار و بردار ویژه در بطن بسیاری از روشهای کاهش ابعاد (Dimensionality Reduction) همچون تحلیل اجزاء اصلی (Principal Component Analysis – PCA)، به کار میروند. همچنین در خوشه‌بندی طیفی (Spectral Clustering) نیز که شامل کاهش ابعاد در مرحله ابتدایی خود است، استفاده میشود.

مقدار ویژه و بردار ویژه چیست؟

همانطور که گفته شد، پیشوند نام اصلی این دو مفهوم، به یک چیز مرتبط با خود یا همان ویژگی ذاتی یک چیز اشاره دارد. حال فرض کنید که یک مجموعه بردار را تحت تبدیل خطی مثل تغییر مقیاس (Scaling)، انتقال برشی (Shearing) یا چرخش (Rotation) قرار داده‌ایم. پس از اعمال این تبدیل، برخی بردارها تغییر جهت میدهند و برخی نمیدهند. بردارهایی که جهت آنها تغییر نمیکند یا اینکه دقیقا در جهت مخالف خود قرار میگیرند را بردار ویژه نامگذاری میکنیم زیرا آنها به نوعی بردارهای شاخص تبدیل خطی (یا ماتریس معادل آن) هستند که بر روی آنها اعمال شده است. مقدار یا میزان دامنه تغییر مقیاس در اینگونه تبدیلها که جهت عوض نشده است نیز همان مقدار ویژه است. به عبارت دیگر، مقدار ویژه، فاکتور تغییر مقیاس تبدیل است.

تعریف ریاضی

فرض کنید که $A$ یک ماتریس با ابعاد $n \times n$ است:

– یک بردار ویژه ماتریس $A$ ، بردار غیرصفر $\nu$ در $\mathbb{R}^n$ است که به ازای یک مقدار اسکالر $\lambda$ داریم: $A\nu = \lambda \nu$

– یک مقدار ویژه ماتریس $A$ ، یک مقدار اسکالر $\lambda$ است به طوریکه معادله $A\nu = \lambda \nu$ جواب غیرصفر (Nontrivial) داشته باشد.

اگر $A\nu = \lambda \nu$ برای $\nu \ne 0$ ، میگوییم که $\lambda$ یک مقدار ویژه $\nu$ است و $\nu$ یک بردار ویژه $\lambda$ .

نکته: بردارها و مقادیر ویژه فقط مختص ماتریسهای مربعی (Square) هستند.

دقت کنید بردارهای ویژه طبق تعریف غیرصفر هستند ولی مقادیر ویژه میتوانند مقدار صفر نیز داشته باشند. علت غیرصفر بودن بردار ویژه نیز قابل انتظار است زیرا به ازای بردار ویژه صفر، عبارت $A0=0=\lambda 0$ را خواهیم داشت که به معنی این است که مقدار ویژه‌ای برای این بردار صفر، قابل تعریف نخواهد بود.

اگر به شما یک ماتریس $A$ و بردار $\nu$ داده شود، بررسی اینکه آیا $\nu$ یک بردار ویژه از ماتریس $A$ است، کار ساده‌ایست: کافی است حاصلضرب $A \nu$ را محاسبه کنید و ببینید که آیا $A \nu$ مضرب اسکالری از $\nu$ است یا نه. از طرفی دیگر، اگر فقط ماتریس $A$ داده شود، فعلا مشخص نیست که چگونه باید بردارهای ویژه را پیدا کنیم. در ادامه مقاله این روش رو یاد خواهیم گرفت.

مثال از تشخیص بردار ویژه بودن برای یک ماتریس:

مثال اول:

ماتریس $A=\begin{bmatrix}2&2\\-4&8 \end{bmatrix}$ و بردارهای $\nu = \begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}$ و $w = \begin{bmatrix} 2 \\1 \end{bmatrix}$ را در نظر بگیرید.

کدامیک بردار ویژه هستند؟

راه حل:

داریم:

$A \nu = \begin{bmatrix}2&2\\-4&8 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\4 \end{bmatrix} = 4 \nu$

بنابراین، $\nu$ یک بردار ویژه ماتریس $A$ با مقدار ویژه $\lambda = 4$ است. از طرفی دیگر داریم:

$A w = \begin{bmatrix}2&2\\-4&8 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 2 \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\0 \end{bmatrix}$

که مشخص است، مضرب اسکالری از $w$ نیست و بنابراین، $w$ بردار ویژه $A$ نیست.

مثال دوم:

ماتریس $A=\begin{bmatrix}0&6&8\\1/2&0&0\\0&1/2&0 \end{bmatrix}$ و بردارهای $\nu = \begin{bmatrix} 16 \\4\\1 \end{bmatrix}$ و $w = \begin{bmatrix} 2 \\2\\2 \end{bmatrix}$ را در نظر بگیرید.

کدامیک بردار ویژه است و کدام نیست؟

راه حل:

داریم:

$A \nu = \begin{bmatrix}0&6&8 \\1/2&0&0\\0&1/2&0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 16 \\4\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 32 \\8\\2 \end{bmatrix} = 2 \nu$

بنابراین، $\nu$ یک بردار ویژه ماتریس $A$ با مقدار ویژه $\lambda = 2$ است. از طرفی دیگر داریم:

$A \nu = \begin{bmatrix}0&6&8 \\1/2&0&0\\0&1/2&0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 2 \\2\\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 \\1\\1 \end{bmatrix}$

که مضربی اسکالر از $w$ نیست. بنابراین، $w$ بردار ویژه ماتریس $A$ نیست.

مثال از بردار ویژه با مقدار ویژه صفر:

فرض کنید:

$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&6 \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \nu = \begin{bmatrix} -3 \\1 \end{bmatrix}$

آیا $\nu$ بردار ویژه $A$ است؟. اگر چنین است، مقدار ویژه آن چیست؟

راه حل:

حاصلضرب ماتریس در بردار مورد نظر عبارت است از:

$A \nu = \begin{bmatrix}1&3\\2&6 \end{bmatrix} . \nu = \begin{bmatrix} -3 \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0 \end{bmatrix} = 0 \nu$

بنابراین، $\nu$ یک بردار ویژه با مقدار ویژه صفر است.

همانطور که قبلا نیز گفته شد، مقدار ویژه میتواند صفر باشد ولی بردار ویژه نمیتواند.

تفسیر هندسی

یک فضای دوبعدی را تصور کنید که در آن سه بردار مطابق شکل زیر داریم:

شکل 1- بردارها قبل از اعمال تبدیل خطی

در اینجا بردار آبی بر روی محور افقی، قرمز بر روی محور عمودی و سبز بر روی امتداد قطری بین دو بردار قبلی واقع شده است. حال یک تبدیل تغییر مقیاس در جهت محور عمودی و با فاکتور 2 اعمال میکنیم تا شکل زیر حاصل شود.

شکل 2- بردارها بعد از اعمال تبدیل خطی

چه اتفاقی در مورد امتداد بردارها افتاده است؟ بردارهای قرمز و آبی در اثر این تغییر مقیاس، تغییر جهتی نداشته‌اند در حالیکه بردار سبز رنگ، تغییر جهت داشته است. بنابراین، در این تبدیل به طور خاص، بردارهای آبی و قرمز را میتوان بردار ویژه دانست و آنها به نوعی بردارهای ذاتی و مرتبط با مشخصات این تبدیل خواهند بود.

حال مجدد به دو تصویر بالا دقت کنید و اندازه دو بردار ویژه را قبل و بعد از تبدیل بررسی کنید. بردار ویژه آبی تغییر اندازه نداشته است در حالیکه بردار ویژه قرمز، دو برابر شده است یا میتوان گفت که با فاکتور 2 تغییر مقیاس داشته است. مقداری که هر بردار ویژه تحت این تبدیل، تغییر مقیاس داشته است همان مقدار ویژه آن بردار ویژه است. بنابراین، مقدار ویژه متناظر با بردار ویژه آبی 1 (این مقدار را مضرب تغییر مقیاس اندازه بردار فرض کنید) است و مقدار ویژه برای بردار ویژه قرمز نیز برابر با 2 است.

بنابراین میتوان گفت که وقتی گفته میشود $A \nu = \lambda \nu$ ، به این معنی است که $A \nu$ هم خط (colinear) نسبت به مبدأ هستند. پس یک بردار ویژه ماتریس $A$ ، بردار غیرصفر $\nu$ است به طوریکه $A \nu$ و $\nu$ بر روی خط یکسانی که از مبدأ میگذرند، قرار دارند و مقدار ویژه، فاکتور مقیاس‌دهنده است.

شکل 3- $\nu$ بردار ویژه است و $w$ بردار ویژه نیست.

برای ماتریسهای معرف یک تبدیل خطی، اغلب بهترین راه برای تشخیص بردار ویژه، ترسیم هندسی و یافتن بردارهایی است که در اثر تبدیل مورد نظر، از جهت خود خارج نمیشوند. این کار معمولا در مورد ماتریسهایی که به صورت هندسی قابل تعریف هستند، انجام میشود.

مثال اول – انعکاس

فرض کنید که تبدیل $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ یک تبدیل خطی است که انعکاس نقاط را نسبت به خط $y=-x$ انجام میدهد و فرض کنید که $A$ ، ماتریس تبدیل $T$ است. میخواهیم مقدارهای ویژه و بردارهای ویژه $A$ را بدون محاسبات بدست آوریم.

راه حل:

مطابق شکل زیر، بردار $u$ یک بردار ویژه نیست زیرا $Au$ همخط با $u$ و مبدأ نیست.

با توجه به شکل زیر نیز مشخص است که $z$ نیز بردار ویژه نیست.

اما در شکل زیر واضح است که $\nu$ یک بردار ویژه است زیرا $A \nu$ همخط با $\nu$ و مبدأ است. بردار $A \nu$ طولی برابر با طول $\nu$ دارد ولی جهت آن مخالف است، بنابراین مقدار ویژه برابر با 1- است.

با توجه به شکل زیر نیز، $w$ یک بردار ویژه است زیرا $Aw$ همخط با $w$ و مبدأ و به طور خاص برابر با آن است. این بدان معنی است که $w$ یک بردار ویژه با مقدار ویژه برابر با یک است.

به نطر میرسد که تمام بردارهای ویژه یا بر روی خط $L$ قرار میگیرند یا بر روی خط عمود بر آن. بردارهای روی $L$ مقدار ویژه 1 دارند و بردارهای عمود بر $L$ مقدار ویژه 1- دارند. شکل زیر این موضوع را به صورت گرافیکی نشان میدهد:

مثال دوم – تصویر کردن (Projection)

فرض کنید که $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ ، تبدیل خطی است که یک بردار را به صورت عمودی بر محور x، تصویر میکند و ماتریس $A$ برای این تبدیل است. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه $A$ را بدون انجام محاسبات، بیابید.

راه حل:

این تبدیل به صورت هندسی در شکل زیر آمده است:

باتوجه به شکل بالا، مشخص است که بردار $u$ یک بردار ویژه نیست زیرا $Au$ همخط با $u$ و مبدأ نیست.

از شکل زیر نیز مشخص است که $z$ نیز بردار ویژه نیست.

با توجه به شکل زیر، میتوان گفت که $\nu$ یک بردار ویژه است. در واقع، $A \nu$ ، بردار صفر است که همخط با $\nu$ و مبدأ است. از آنجاییکه $A\nu = 0.\nu$ ، مقدار ویژه برابر با صفر است.

از شکل نیز مشخص است که $w$ یک بردار ویژه است زیرا $Aw$ همخط با $w$ و مبدأ است. از طرفی $Aw$ برابر با $w$ است! این بدان معنی است که $w$ یک بردار ویژه با مقدار ویژه یک است.

به نظر میرسد که تمام بردارهای ویژه بر روی محور x یا محور y قرار دارند. بردارهای روی محور x، مقدار ویژه یک دارند و بردارهای روی محور y، مقدار ویژه صفر. شکل زیر این نکته را به صورت هندسی نمایش میدهد:

مثال سوم – همانی (Identity)

تمام مقادیر و بردارهای ویژه ماتریس همانی $I_n$ را بیابید.

راه حل:

ماتریس همانی دارای ویژگی $I_n \nu = \nu$ برای تمام بردارهای $\nu \in \mathbb{R}^n$ است. میتوان نوشت $I_n \nu = 1.\nu$ ، بنابراین هر بردار غیرصفر یک بردار ویژه با مقدار ویژه یک است. شکل زیر این موضوع را نشان میدهد:

مثال چهارم – انبساط (Dilation)

فرض کنید که $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ ، تبدیل خطی است که با فاکتور 1.5 عمل انبساط را انجام میدهد و ماتریس این تبدیل برابر با $A$ است. مقادیر و بردارهای ویژه ماتریس $A$ را بدون محاسبات بدست آورید.

راه حل:

برای هر بردار $\nu \in \mathbb{R}^2$ داریم:

$A \nu = T(\nu) = 1.5 \nu$

بنابراین، طبق تعریف هر بردار غیرصفر یک بردار ویژه با مقدار ویژه 1.5 است. شکلهای زیر این مساله را به خوبی نشان میدهد:

منبع: https://www.datacamp.com http://textbooks.math.gatech.edu

مقدار ویژه و بردار ویژه ماتریس

دیدگاه ها (0)

لغو پاسخ