تابع Q و تابع خطا در توزیع نرمال

 

 

 

به زبان ساده، تابع Q، برابر با احتمال آن است که یک متغیر تصادفی از توزیع نرمال (Normal Distribution) از یک مقدار آستانه مشخص بیشتر شود. تابع خطا (erf)، احتمال آن است که یک متغیر با توزیع نرمال در یک بازه مشخص قرار گیرد.

 

 

تابع Q

 

تابع Q، اغلب در معادلات تئوری برای محاسبه نرخ خطای بیت (Bit Error Rate – BER) شامل کانال با نویز سفید اضافه شونده (Additive White Gaussian Noise – AWGN) استفاده میشود. در این مقاله میخواهیم یک مرور کوتاه بر تابع Q و رابطه آن با تابع خطای erfc داشته باشیم.

فرآیند گوسین (Gaussian Process)، مدل مورد استفاده برای کانال AWGN در مخابرات است. تابع توزیع احتمال گوسین توسط عبارت زیر داده میشود:

 

    \[ p(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \]

 

به طور کلی، در محاسبات BER، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی گوسین X \sim \mathcal{N} (\mu, \sigma^2) بیشتر از مقدار x_0 باشد، به شکل ناحیه زیر منحنی سایه زده در شکل زیر بدست می‌آید:

 

شکل 1- تابع توزیع احتمال (PDF) گوسین و توصیف تابع Q روی آن

 

به زبان ریاضی، مساحت ناحیه سایه زده به شکل زیر محاسبه میشود:

 

    \[ \begin{aligend} Pr(X \ge x_0) = \int_{x_0}^{\infty} p(x) dx \\ \int_{x_0}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} dx \end{aligned} \]

 

انتگرال حاوی تابع توزیع احتمال بالا به شکل بسته (closed form) قابل محاسبه نیست. بنابراین با یک تغییر متغیر به شکل y = \frac{x-\mu}{\sigma}، معادله مربوط به مساحت ناحیه سایه زده، به شکل زیر قابل بازنویسی است:

 

    \[ Pr \left(y>\frac{x_0-\mu}{\sigma} \right) = \int_{(\frac{x_0-\mu}{\sigma}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \e^{-\frac{y^2}{2}} dy \]

 

در اینجا، تابع درون انتگرال، یک تابع توزیع احتمال گوسین نرمال شده (Normalized) Y \sim mathcal{N}(0,1) است. نرمال شده نیز به مفهوم داشتن میانگین صفر، \mu=0 و انحراف معیار یک، \sigma=1 است. 

در معادله بالا، عبارت سمت راست به شکل تابع Q قابل بیان است:

 

    \[ Q(z) = \int_{z}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \e^{-\frac{y^2}{2}} dy \]

 

که در آن، رابطه زیر برای تابع Q استفاده شده است:

 

    \[ Pr \left(y>\frac{x_0-\mu}{\sigma} \right) = Q \left(\frac{x_0-\mu}{\sigma} \right) = Q(z) \]

 

بنابراین، تابع Q، مساحت ناحیه زیر منحنی را با تبدیل متغیر y=\frac{x-\mu}{\sigma} که به تابع توزیع احتمال گوسین اعمال شده است را میدهد. در واقع، تابع Q، احتمال دنباله توزیع احتمال (ناحیه سایه زده در شکل بالا) را محاسبه میکند. 

 

نکته: تابع Q، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی از توزیع نرمال، بیشتر از مقدار آستانه مشخصی باشد را به ما میدهد. 

 

 

تابع خطا

 

تابع خطای مکمل، مساحت زیر منحی در دو بخش انتهایی تابع توزیع احتمال گوسین با میانگین صفر و واریانس \sigma^2=1/2 را نمایش میدهد. تابع خطا، احتمال اینکه خارج از این محدوده قرار بگیریم را به ما میدهد. این مفاهیم در شکل زیر نمایش داده شده است:

 

 

شکل 2- تابع خطای مکمل و تابع خطا

 

بنابراین، تابع خطای مکمل به شکل زیر خواهد بود:

 

    \[ erfc(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{z}^{\infty} e^{-x^2} dx \]

و تابع خطا نیز به شکل زیر است:

 

    \[ erf(z) = 1-erfc(z) \]

یا به طور معادل:

 

    \[ erf(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{-x^2}dx \]

 

نکته: تابع خطا، احتمال آن که متغیر با توزیع نرمال درون یک بازه مشخص قرار گیرد را به ما میدهد.

 

 

تابع Q و تابع خطای مکمل (erfc)

 

با توجه به محدوده انتگرال‌گیری در محاسبه تابع خطای مکمل، میتوان چنین نتیجه گرفت که تابع Q به طور مستقیم با تابع خطای مکمل ارتباط دارد. این رابطه به شکل زیر است:

 

    \[ Q(z) = \frac{1}{2} erfc \left(\frac{z}{\sqrt(2)} \right) \]

 

 

برخی نتایج مهم

 

معادلاتی که در ادامه می‌آید، در محاسبه احتمال خطای بیت در سناریوهای مختلف، بسیار مفید خواهد بود. این معادلات در اینجا به عنوان یک مرجع ارائه میشوند.

اگر یک متغیر نرمال X \sim mathcal{N}(\mu, \sigma^2) داشته باشیم، احتمال آنکه X>x بشود، برابر است با:

 

    \[ Pr(X>x)=Q \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right) \]

 

اگر بخواهیم احتمال اینکه X به میزان a (در سمت راست یا چپ میانگین توزیع احتمال) از مقدار میانگین دور باشد را محاسبه کنیم، داریم:

 

    \[ Pr(X>\mu +a) = Pr(X<\mu- a) = Q \left(\frac{a}{\sigma} \right) \]

 

اگر بخواهیم احتمال اینکه X به میزان a (از هر دو طرف میانگین توزیع احتمال) از مقدار میانگین دور باشد را محاسبه کنیم، داریم:

 

    \[ Pr(\mu-a>X>\mu+a)=2Q \left(\frac{a}{\sigma} \right) \]

 

در ادامه، مروری بر کاربردهای تابع Q و تابع خطا به صورت خلاصه خواهیم داشت.

 

 

کاربردها

 

تابع Q و تابع خطا (erf)، توابع ریاضی مهمی هستند که در شاخه‌های مختلفی ظاهر میشوند، از جمله: تئوری احتمال، آمار، پردازش سیگنال و مهندسی مخابرات. در اینجا دلایل این اهمیت را مرور میکنیم.

 

– محاسبات احتمال: تابع Q و تابع erf در محاسبات احتمال شامل توزیع گوسین استفاده میشوند. تابع Q، احتمال اینکه یک متغیر از یک توزیع نرمال از سطح آستانه مشخصی فراتر رود را به ما میدهد. تابع erf، احتمال اینکه متغیر تصادفی با توزیع نرمال درون یک بازه مشخص قرار گیرد را محاسبه میکند. 

 

– پردازش سیگنال: در پردازش سیگنال، تابع Q برای محاسبه احتمال خطای بیت در سیستمهای مخابرات دیجیتال استفاده میشود. این مساله برای طراحی سیستمهای مخابراتی که به طور مطمئن میتوانند داده رو بر روی کانال نویزی ارسال کنند، بسیار مهم است. 

 

– تحلیل آماری: تابع Q و تابع erf، در تحلیل آماری برای مدل کردن داده و تخمین پارامترها، استفاده میشود. برای مثال، در تست فرض (Hypothesis Testing)، تابع Q برای محاسبه مقدار پی (p value) قابل استفاده است. 

 

– مدل کردن ریاضی: تابع Q و تابع erf به طور طبیعی در مدلهای ریاضی در پدیده‌های مختلف، ظاهر میشوند. برای مثال، معادله گرما در فیزیک و معادله Black-Scholes در مباحث مالی، شامل تابع erf میشوند. 

 

– راندمان محاسباتی: در برخی موارد، تابع Q و تابع erf، راه موثرتر و دقیقتری برای محاسبه برخی احتمالها و انتگرالها نسبت به سایر روشها، ارائه میکنند. 

 

 

 

 

 

 

منبع: www.gaussianwaves.com