میانگین در آمار

 

 

میانگین (mean) در ریاضیات، معیاری برای اندازه‌گیری تمایل به مرکز داده‌ها است و بیشتر در آمار (Statistics) استفاده میشود. میانگین، ساده‌ترین روش در میان روشهای مختلف اندازه‌گیری آماری است. داده‌ها بر دو نوع هستند: داده گروهبندی شده و غیرگروهبندی شده. نحوه یافتن مقدار میانگین بر اساس نوع داده مورد نظر، متفاوت است. میانگین به طور کلی، مقدار متوسط یک مجموعه از اعداد یا داده‌ها است. این مقدار، یکی از مهمترین معیارهای اندازه‌گیری شده در رابطه با تمایل به مرکز در داده‌های توزیع‌شده است.

در آمار، میانگین برابر با مقدار متوسط (average) یک مجموعه داده است. این مقدار با جمع تمام اعداد با هم و تقسیم حاصل‌جمع بر تعداد مقادیر مجموعه داده، محاسبه میشود. همچنین، میانگین تحت عنوان مقدار متوسط (average) نیز شناخته میشود. این مقدار به داده‌های مورب یا نامتنانسب (skewed) و داده‌های خیلی بزرگ، حساس است.

در این مقاله، ما تمام آنچه را که شما در رابطه با اینکه میانگین چیست، تعریف میانگین و فرمول آن، مثالهایی از آن و سایر موارد جزئی‌تر نیاز دارید را بررسی و تحقیق خواهیم کرد.

 

 

لیست محتوا

 

میانگین در آمار چیست؟

فرمول میانگین

چگونه مقدار میانگین را محاسبه کنیم؟

میانگین داده غیرگروهبندی شده

انواع میانگین

میانگین داده گروهبندی شده

 

 

تمایل به مرکز در آمار

 

در آمار، سه مقدار اندازه‌گیری شده تحت عنوان تمایل به مرکز، تعریف میشوند: میانگین، میانه (median) و مد (mode) که میانگین، مقدار متوسط یک مجموعه داده را فراهم میکند، میانه، مقدار قرار گرفته در وسط مجموعه داده را بدست میدهد و مد، داده با بیشترین تکرار در مجموعه داده است.

محاسبه معیارهای تمایل به مرکز همچون میانگین، میانه و مد، در بسیاری از حوزه‌های مطالعه و تحقیق همچون علوم داده (Data Science)، آمار و یادگیری ماشین (Machine Learning) سودمند است.

 

 

میانگین در آمار چیست؟

 

میانگین در آمار به معنی آن است که میخواهیم با این مفهوم در موضوع آمار به عنوان میانگین تعامل کنیم زیرا این یک مفهوم خیلی کلی است. اگر بخواهیم مقدار میانگین را در یک مجموعه از اعداد بیابیم (داده غیرگروهبندی شده) فقط کافیست که اعداد را باهم جمع کرده و حاصل را بر تعداد آنها تقسیم کنیم.

میانگین، میزان تمایل به مرکز در داده توزیع شده است که به مقدار متوسط یک مجموعه از داده اشاره میکند. میانگین، متناظر با یک مقدار تکی از داده توزیع شده است و یک مقدار مناسب که به ما شهودی در رابطه با کل داده ارائه میکند را نمایش میدهد. در آمار، میانگین یکی از روشهای اساسی برای تحلیل داده است.

برای مثال، اگر بخواهیم مقدار متوسط حقوق کارمندان در یک شرکت را محاسبه کنیم، این کار با استفاده از محاسبه میانگین میسر است که در آن باید تمام حقوقها جمع زده شده و حاصل بر تعداد کارمندان تقسیم شود. یا مثلا اگر بخواهیم درآمد متوسط به ازای هر کارمند را محاسبه کنیم، باید مقدار کل درآمد شرکت را بر تعداد کارمندان تقسیم کنیم.

 

 

تعریف میانگین

 

میانگین به صورت مقدار متوسط یک مجموعه از مقادیر، تعریف میشود و برای اندازه‌گیری میزان تمایل به مرکز، استفاده میشود. تمایل به مرکز، معیار اندازه‌گیری است که یک مجموعه داده یا توزیع از یک مقدار را تصدیق میکند. بنابراین، میتوان گفت که میانگین میتواند کل داده را توصیف کند. در آمار، میانگین با جمع کل مقادیر مشاهده شده و تقسیم حاصل بر تعداد مقادیر مشاهده شده، بدست می‌آید.

 

 

نماد میانگین

 

میانگین به صورت یک خط ساده بر روی نماد متغیر مورد نظر x، یا \bar x نمایش داده میشود. فرض کنید که مجموعه داده مورد نظر به شکل X={x_1,x_2, ...,x_n} است. میانگین این مجموعه داده، \bar x به صورت زیر محاسبه میشود:

 

    \[ \bar x=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \]

 

 

کاربردهای میانگین

 

کابردها و مثالهای زیادی از میانگین در زندگی واقعی وجود دارد. در ادامه برخی از این کاربردهای میانگین آمده است:

 

– متوسط (میانگین) نمرات دانش‌آموزان در یک کلاس

– متوسط درآمده سرانه یک کشور

– متوسط حقوق در یک طبقه مشخص از جامعه

 

 

فرمول میانگین

 

فرمول میانگین در آمار به صورت جمع تمام مشاهدات در مجموعه داده مورد نظر و تقسیم حاصل آن بر تعداد کل مشاهدات است. این فرمول در ادامه نشان داده شده است.

 

میانگین یا مقدار متوسط = تعداد کل نقاط داده / مجموع تمام نقاط داده یا مشاهدات

 

از این فرمول به سادگی برای محاسبه میانگین یک مجموعه داده همچون مثال زیر، استفاده میشود.

 

مثال: مقدار میانگین 10 عدد طبیعی ابتدایی را محاسبه کنید.

 

راه‌حل:

 

10 عدد طبیعی ابتدایی: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

مجموع این 10 عدد: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

مقدار میانگین: 55/10=5.5

 

 

چگونه مقدار میانگین را بیابیم؟

 

برای محاسبه مقدار میانگین، از فرمول آن که به اشاره شد، استفاده میکنیم. دو مرحله اصلی در محاسبه میانگین وجود دارد:

 

1- محاسبه جمع مقادیر داده‌ها

2- تقسیم حاصل‌جمع مقادیر مشاهده شده بر تعداد مشاهدات در داده

 

بر اساس نوع داده مورد نظر، محاسبه میانگین به روشهای مختلف انجام میشود. بیایید نگاهی به حالتهای مختلف برای محاسبه میانگین داشته باشیم

 

حالت اول: در لیست داده، n مقدار داریم و داده به شکل {x_1, x_2, ..., x_n{ است. میانگین محاسبه شده توسط فرمول به شرح زیر است:

 

    \[ \begin{aligned} \bar x = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \\ \\ \bar x = \frac{\sum x_i}{n} \end{aligned} \]

 

حالت دوم: فرض کنید که n مقدار داده در مجموعه {x_1, x_2, ..., x_n{ داریم و تعداد تکرار هر داده به صورت {f_1,f_2, ..., f_n{ است. آنگاه، میانگین به صورت فرمول زیر محاسبه میشود:

 

    \[ \begin{aligned} \bar x = \frac{f_1.x_1+f_2.x_2+...+f_n.x_n}{n} \\ \\ \bar x = \frac{\sum f_i.x_i}{\sum f_i} \end{aligned} \]

 

 

انواع میانگین

 

در آمار، چهار نوع میانگین وجود دارد که عبارت است از میانگین وزنی (Weighted Mean)، میانگین حسابی (Arithmetic Mean)، میانگین هندسی (Geometric Mean) و میانگین هارمونیک (Harmonic Mean). زمانیکه به طور مشخص به نوع خاصی از میانگین اشاره نشود، منظور میانگین حسابی است. بیایید نگاه دقیقتری به این روشهای مختلف میانگین داشته باشیم.

 

 

میانگین حسابی

 

میانگین حسابی برای یک مجموعه از داده، همانطور که قبلا اشاره شد، از طریق نسبت جمع مقادیر مشاهده شده به تعداد کل مشاهدات، محاسبه میشود. فرمول کلی میانگین حسابی به صورت زیر است:

 

میانگین حسابی =  تعداد کل مشاهدات / جمع مقادیر مشاهد شده

 

    \[ \bar x = \frac{\sum x_i}{N} \]

 

که در آن داریم:

 

– \bar x = میانگین حسابی

– x_i = مقدار هر مشاهده

– N = تعداد کل مشاهدات

 

 

میانگین هندسی

 

میانگین هندسی برای n مقدار عددی از طریق ریشه n-ام حاصلضرب تمام n مقدار مشاهده شده، محاسبه میشود. فرمول میانگین هندسی به شکل زیر است:

 

    \[ \text Geometric Mean = G.M. = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times ... \times x_n} \]

 

 

میانگین هارمونیک

 

میانگین هارمونیک از طریق تقسیم تعداد مقادیر مشاهده شده بر جمع معکوس مقادیر مشاهده شده محاسبه میشود. همچنین میتوان گفت، میانگین هارمونیک به نوعی معکوس میانگین حسابی نیز است. فرمول میانگین هارمونیک به شکل زیر است:

 

    \[ \text Harmonic Mean = H.M. = \frac{N}{\sum \frac{1}{x_i}} \]

 

 

میانگین وزنی

 

میانگین وزنی در حالت خاص مجموعه داده محاسبه میشود که در آن برخی مقادیر نسبت به بقیه اهمیت بیشتری دارند. در این نوع مجموعه داده، به هر مقدار یک وزن نیز تعلق پیدا میکند و فرمول کلی میانگین وزنی به شکل زیر نوشته میشود:

 

    \[ \text Weighted Mean = \frac{\sum w_i.x_i}{\sum w_i} \]

 

که در آن w_i مقدار وزن هر مشاهده x_i است.

 

 

مقایسه میانگین حسابی و میانگین هندسی

 

اختلافهای اساسی بین میانگین حسابی و هندسی وجود دارد که در جدول زیر بررسی شده‌اند.

 

جدول 1- مقایسه میانگین حسابی و میانگین هندسی

 

 

 

 

منبع: https://www.geeksforgeeks.org