فیلترهای ایده‌آل

مقاله پیش رو برگرفته از بلاگ آقای چاد اسپونر هست که قبلا نیز مبحث کانولوشن را از ایشان ارائه کرده بودم. در اینجا فیلترهای ایده‌آل و برخی نمونه‌های کاربردی آنها آمده است و با مطالعه آن، دید خوبی نسبت به فیلترها در پردازش سیگنال بدست خواهید آورد. فیلترهای ایده‌آل دارای تابع تبدیل به شکل مستطیلی یا شبیه پله واحد دارند و به همین دلیل چندان در دنیای فیزیکی جایی ندارند. اما همین فیلترها دید خوبی در تحلیل و طراحی سیستمهای خطی واقعی به ما میدهند.

یک فیلتر، به صورت یک سیستم خطی تغییر ناپذیر با زمان (LTI) طراحی شده است. اهداف فیلتر کردن عبارت است از:

1- حذف سیگنالها یا نویزهای ناخواسته ضمن حفظ سیگنالهای مطلوب.

2- بازیابی سیگنال به شرایطی که از قبل محدود شده است.

فیلترها با توجه به تابع پاسخ فرکانسی خود دسته‌بندی میشوند. المان فرکانسی با فرکانس $f_0$ به عنوان فرکانس عبور داده شده شناخته میشود، اگر مقدار معادل پاسخ فرکانسی آن $H(f_0)$ غیر صفر باشد و در غیر این صورت به عنوان فرکانس حذف شده در نظر گرفته میشود.

فیلترهایی که فرکانسهای پایین را عبور میدهند و فرکانسهای بالا را حذف میکنند، فیلترهای پایین‌گذر و آنهایی که برعکس، فرکانسهای بالا را عبور داده و فرکانسهای پایین را حذف میکنند، فیلترهای بالاگذر نام دارند. فیلترهایی که فرکانسهایی در یک بازه میانی را عبور میدهند، میان‌گذر هستند. از جمله موارد کمتر رایج، فیلترهایی هستند که همه فرکانسها به جز برخی بازه‌های فرکانسی باریک را عبور میدهند و فیلترهای تله‌ای (notch) یا میان‌نگذر نام دارند. همچنین فیلترهایی نیز وجود دارند که تمامی فرکانسها را عبور میدهند و فقط فاز را تغییر میدهند که به آنها فیلترهای تمام‌گذر میگویند.

فیلترهای پایین‌گذر ایده‌آل

یک فیلتر پایین‌گذر فیلتری است که فقط اجزاء سینوسی با فرکانس پایین را در سیگنال ورودی از خود عبور میدهد و مابقی را حذف یا به طور قابل توجهی تضعیف میکند. این موضوع به سادگی در حوزه فرکانس از طریق پاسخ فرکانسی فیلتر (تابع تبدیل) همچون شکل 1 قابل مشاهده است:

شکل 1- a. تابع تبدیل فیلتر پایین‌گذر (LPF) ایده‌آل و b. تابع تبدیل فیلتر پایین‌گذر واقعی‌. فیلتر ایده‌آل، گذارهای (عبور از یک وضعیت به وضعیت دیگر) بینهایت تیز و شدید بین باند گذر ( $[-f_c,f_c]$ ) و باند توقف ( $(-\infty,-f_c] \cup [f_c,\infty])$ ) دارد.

برای LPF ایده‌آل، بازه فرکانسی $[-f_c,f_c]$ باند گذر است، $f_c$ فرکانس قطع (cutoff) نام دارد و ارتفاع باند عبوری، بهره $G$ است. عرض باند گذر یا همان پهنای باند فیلتر برابر با $2f_c$ است و بازه فرکانسی $(-\infty,-f_c] \cup [f_c,\infty])$ باند توقف است.

اجازه دهید نگاهی به تابع پاسخ ضربه فیلتر LPF ایده‌آل داشته باشیم. این تابع به سادگی همان تبدیل معکوس تابع پاسخ فرکانسی است:

$\\ h_{LPF}(t)=F^{-1}[H_{LPF}(f)] \\ \\ F^{-1}[G .rect(f/2f_c)]\\ \\2f_c.G.sinc(2f_ct)$

تابع پاسخ ضربه LPF ایده‌آل در شکل 2 نشان داده شده است. میدانید که یک سیستم LTI علّی (causal) باید پاسخ ضربه‌ای داشته باشد که برای مقادیر $t<0$ مقدار آن صفر باشد که به وضوح در مورد تابع شکل 2 صدق نمیکند. بنابراین، LPF ایده‌آل قابل تحقق در دنیای واقعی نیست که به معنی عدم امکان ساخت و پیاده‌سازی آن به طور فیزیکی است. به عبارت دیگر در دنیای واقعی، این فیلتر را نمیتوان تولید کرد زیرا بخشی از پاسخ آن به ورودی ضربه در $t=0$ قبل از اینکه ضربه به سیستم اعمال شود، رخ میدهد.

حال فرض کنید که میخواهیم یک تاخیر (که میتواند تاخیر زیادی هم باشد) بین زمانی که سیگنال ورودی به LPF ایده‌آل اعمال میشود و زمانی که شروع به دیدن خروجی سیستم میکنیم، را قبول کنیم.

شکل 2- تابع پاسخ ضربه فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل. شکل پاسخ ضربه یک تابع سینک (sinc) است که تبدیل فوریه معکوس تابع تبدیل مستطیلی نشان داده در شکل 1 است.

سپس به سادگی میتوانیم پاسخ ضربه را به نحوی تاخیر دهیم که بخش عمده انرژی آن در سمت راست $t=0$ مطابق شکل 3 قرار گیرد. تابع پاسخ ضربه برای فیلتر LPF تاخیر یافته به فرم زیر است:

$h_{LPF}'(t)=h_{LPF}(t-T_d)$

که در شکل 3 برای $T_d=1/f_c$ نشان داده شده است.

شکل 3- تابع پاسخ ضربه فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل تاخیر یافته. این همان پاسخ ضربه شکل 2 است که در حوزه زمان دچار تاخیر شده است به طوریکه بخش عمده انرژی آن در سمت راست نقطه $t=0$ قرار گیرد.

برای فیلتر با خروجی تاخیر یافته، انرژی پاسخ ضربه برای $t<0$ با انتخاب $T_d$ به اندازه کافی بزرگ میتواند تا حد مطلوب کاهش یابد. بنابراین، یک LPF ایده‌آل غیرعلّی به یک نمونه علّی به طور تقریبی با استفاده از تاخیر به نسبت زیاد، قابل تبدیل است. سوالی که مطرح میشود این است که تابع تبدیل (پاسخ فرکانسی) برای این پاسخ ضربه با خروجی تاخیر یافته چیست؟

$\\ H'_{LPF}(f)=\int^{\infty}_{-\infty}h'_{LPF}(t)e^{-i2\pi ft}dt \\ \\ =\int^{\infty}_{-\infty}h_{LPF}(t-T_d)e^{-i2\pi ft}dt \\ \\ =e^{-i2\pi fT_d}\int^{\infty}_{-\infty}h_{LPF}(t)e^{-i2\pi ft}dt \\ \\ =e^{-i2\pi fT_d}H_{LPF}(f)$

بنابراین ملاحظه میشود که اندازه دو تابع تبدیل $H_{LPF}(f)$ و $H'_{LPF}(f)$ یکسان هستند، اما فاز آنها متفاوت است. به لحاظ ساختاری، $H_{LPF}(f)$ حقیقی است و بنابراین فاز آن صفر است. به همین دلیل، فاز سیستم با خروجی تاخیر یافته به شکل زیر است:

$\angle H'_{LPF}(f)=\angle e^{-i2\pi fT_d}=-2\pi fT_d$

که تابعی خطی نسبت به متغیر فرکانس $f$ است. بنابراین، فاز تابع تبدیل خطی، معادل یک تاخیر ثابت در حوزه زمان بین ورودی و خروجی سیستم است.

راه دیگر برای پر کردن فاصله بین فیلترهای ایده‌ال و کاربردی، استفاده از نکته‌ای است که در پاسخ ضربه LPF ایده‌آل نهفته است: این پاسخ ضربه در نزدیکی $t=0$ به شدت متمرکز است. پس اجازه دهید یک پاسخ ضربه علّی که تمامی انرژی آن نزدیک $t=0$ است، ایجاد کنیم. آیا فیلتر حاصل، مربوط به فیلتر پایین‌گذر خواهد بود؟ پاسخ ضربه در شکل 4 نشان داده شده است. برای یافتن پاسخ فرکانسی آن، باید تبدیل فوریه آن را محاسبه کنیم.

شکل 4- تابع پاسخ ضربه فیلتر میانگین متحرک ایده‌آل که نوعی فیلتر پایین‌گذر است. چون پاسخ ضربه برای $t<0$ برابر با صفر است، این فیلتر کاربردی و قابل ساختن است، برخلاف فیلتر غیرعلّی نشان داده در شکل 3.

شکل 5- اندازه تابع تبدیل برای فیلتر میانگین متحرک نشان داده در شکل 4

$\\ H(f)=\int^{\infty}_{-\infty}h(t)e^{-2i\pi ft}dt \\ \\ K.T_c.sinc(f.Tc)e^{-i\pi fTc}$

شکل 6- سیگنال ورودی تابع پله واحد $u(v)$

شکل 7- دو نسخه معکوس زمانی و جابه‌جا شده تابع پله

با نگاه به اندازه $H(f)$ در معادله بالا، (شکل 5)، میبینیم که پاسخ آری است، این واقعا یک فیلتر از نوع پایین‌گذر است. این فیلتر را فیلتر میانگین متحرک (moving average – MA) گویند.

شکل 8- پاسخ ضربه میانگین متحرک به شکل تابعی از متغیر $v$

$y(t)=\frac{1}{T_c}\int^{t}_{t-T_c}x(u)du$

پاسخ پله یک فیلتر MA چیست؟ سیگنال ورودی تابع پله در شکل 6 آمده است. ما باید این سیگنال را با پاسخ ضربه MA کانوالو کنیم که با کمک شکلهای 7 و 8 قابل انجام است:

$\\ y(t)=\int^{\infty}_{-\infty}h(v)u(t-v)dv \\ \\ \int^{t}_{-\infty}h(v)dv \\ \\ \int^{t}_{0}h(v)dv$

شکل 9- پاسخ پله واحد برای فیلتر میانگین متحرک که پاسخ ضربه آن در شکل 8 آمده است.

برای $t<0$ ، داریم: $y(t)=0$ . برای $t\geq 0$ و $t\leq T_c$ داریم:

$y(t)=\int^{t}_{0}K dv=Kt$

و برای $t>T_c$ داریم:

$y(t)=\int^{T_c}_{0}K dv=KT_c$

پاسخ پله کامل در شکل 9 آمده است. سعی کنید آن را بر حسب عمل میانگین‌گیری حرکت کننده روی ورودی تابع پله تفسیر کنید.

فیلترهای بالاگذر ایده‌آل

یک فیلتر بالاگذر (HPF) فیلتری است که فقط امواج سینوسی با فرکانسهای ورودی بالا را از خود عبور میدهد و مابقی فرکانسها را حذف میکند. در حوزه فرکانس، تابع تبدیل نشان داده شده در شکل a.10 را داریم و ملاحظه میکنیم که این تابع تبدیل به نحوی مکمل تابع تبدیل فیلتر LPF است: جایی که یکی از آنها صفر است، دیگری غیر صفر است و بالعکس.

فرکانس قطع HPF برابر با $f_c$ است، بهره باند عبور $G$ و پهنای باند فیلتر بینهایت است و باند توقف $[-f_c,f_c]$ است.

تابع تبدیل HPF به شکل زیر قابل نوشتن بر حسب تابع تبدیل LFP است:

$H_{HPF}(f)=G-H_{LPF}(f)$

شکل 10-a. تابع تبدیل فیلتر بالاگذر ایده‌آل (HPF) و b. تابع تبدیل فیلتر بالاگذر واقعی‌. فیلتر ایده‌آل ناحیه گذار بینهایت تیز بین باند توقف $[-f_c,f_c]$ و باند عبور $(-\infty,-f_c] \cup [f_c,\infty])$ دارد که غیرواقعی است.

میتوان از معادله بالا به سادگی برای بدست آوردن تابع پاسخ ضربه HPF استفاده کرد:

$\\ h_{HPF}(t)=F^{-1}[H_{HPF}(f)]=F^{-1}[G-H_LPF(f)] \\ \\ =G\delta (t)-2Gf_c.sinc(2f_ct)$

که در شکل 11 نشان داده شده است.

شکل 11. تابع پاسخ ضربه فیلتر بالاگذر ایده‌آل با تابع تبدیل نشان داده شده در شکل 10. به حضور یک تابع ضربه در $t=0$ و تابع پاسخ ضربه فیلتر پایین‌گذر به شکل معکوس دقت کنید.

اتفاق نه چندان تعجب‌برانگیز این است که HPF ایده‌آل نیز غیرعلّی است. میتوان با اعمال یک تاخیر، تقریب خوبی از HPF ایده‌آل را ساخت که مشابه همان فرآیندی است که برای LPF ایده‌آل انجام شد.

فیلترهای میان‌گذر ایده‌آل

یک فیلتر میان‌گذر (BPF) فیلتری است که تنها اجزاء فرکانسی ورودی که درون باند مشخصی از فرکانسها قرار میگیرند را از خود عبور میدهد (همچون محدوده $[f_1,f_2]=[f_0-f_c,f_0+f_c]$ ). یک BPF ایده‌آل باندهای عبور مستطیلی شکل دارد، مشابه آنچه که در شکل 12.a نشان داده شده است.

تابع تبدیل یک BPF ایده‌آل بر حسب تنها یک تابع تبدیل LPF ایده‌آل یا ترکیب تابع تبدیل LPF ایده‌آل با یک تابع تبدیل HPF ایده‌آل قابل توصیف است. اجازه دهید این دو حالت را در ادامه بررسی کنیم.

شکل 12-a. تابع تبدیل فیلتر میان‌گذر ایده‌آل (HPF) و b. تابع تبدیل واقعی‌ برای فیلتر میان‌گذر. فیلتر ایده‌آل نواحی گذار بینهایت تیز بین باندهای عبور $[-f_0-f_c,-f_0+f_c]\cup [f_0-f_c,f_0+f_c]$ و باندهای توقف $(-\infty,-f_0-f_c]\cup [-f_0+f_c,f_0+f_c] \cup [f_0+f_c,\infty)$ دارد.

BPF ایده‌آل بر حسب LPF ایده‌آل

همانطور که میدانیم، تبدیل فوریه سیگنال مدوله شده $x(t)e^{i2\pi f_0t}$ ، نسخه جابه‌جا شده تبدیل فوریه سیگنال $x(t)$ است:

$\\ x(t) \Leftrightarrow X(f) \\ \\ \Rightarrow x(t)e^{i2\pi f_0t} \Leftrightarrow X(f-f_0)$

میتوان تابع تبدیل BPF ایده‌آل $H_{BPF}(f)$ را با اضافه کردن دو تابع تبدیل LPF ایده‌آل جابه‌جا شده، مطابق شکل 13 بوجود آورد:

$H_{BPF}(f)=H_{LPF}(f+f_0)+H_{LPF}(f-f_0)$

بنابراین پاسخ ضربه به شکل زیر حاصل میشود:

$\\ h_{BPF}(t)=h_{LPF}(t)e^{-i2\pi f_0t}+h_{LPF}(t)e^{i2\pi f_0t} \\ \\ =h_{LPF}(t)[e^{-i2\pi f_0t}+e^{i2\pi f_0t}] \\ \\ =2h_{LPF}(t)cos(2\pi f_0t)$

شکل 13. نمایش نحوه ساختن باندهای عبور BPF ایده‌آل از باند عبور فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل جابه‌جا شده فرکانسی.

BPF ایده‌آل بر حسب یک LPF ایده‌آل و یک HPF ایده‌آل

برای شکل‌دهی BPF ایده‌آل، تابع تبدیل دو فیلتر LPF و HPF مطابق شکل 14، در هم ضرب میشوند. فرکانسهای قطع دو فیلتر به نحوی تعیین میشوند که وقتی تابع تبدیل آنها در هم ضرب میشوند، فقط دو ناحیه فرکانسی حاصلضرب منطبق بر پاسخ فرکانسی غیرصفر لازم باشد. پاسخ فرکانسی عبارت است از:

$H_{BPF}(f)=H_1(f).H_2(f)$

با استفاده از تئوری کانولوشن، میتوان پاسخ ضربه مورد نظر را به شکل کانولوشن پاسخهای ضربه دو فیلتر محاسبه کرد:

$\\ h_{BPF}(t)=h_1(t) \star h_2(t) \\ \\ =2(f_0+f_c).G.sinc(2(f_0+f_c)t) \star[\delta(t)-2(f_0-f_c).sinc(2(f_0-f_c)t)] \\ \\ =4f_c.G.sinc(2f_ct)cos(2\pi f_0t)$

که از نتایج قبلی به جای محاسبه مستقیم فرمول کانولوشن استفاده کرده‌ایم.

شکل 14. نمایش تولید تابع تبدیل فیلتر میان‌گذر ایده‌آل از طریق ضرب یک تابع تبدیل پایین‌گذر ایده‌آل و یک تابع تبدیل بالاگذر ایده‌آل: $H_{BPF}(f)=H_1(f)H_2(f)$

فیلترهای میان‌نگذر ایده‌آل

یک فیلتر میان‌نگذر ایده‌آل (Bandstop Filter – BSF) فیلتری است که اجزاء فرکانسی یک باند فرکانسی به مرکز $f_0$ با عرض $2f_c$ را حذف و مابقی فرکانسها را از خود عبور میدهد و به نحوی مکمل فیلتر میان‌گذر است.

زمانی که عرض باند توقف، $2f_c$ نسبت به فرکانس مرکزی $f_0$ خیلی کوچک باشد، این فیلتر را فیلتر تله‌‌ای (notch) نیز میگویند.

شکل 15. تابع تبدیل فیلتر میان‌نگذر ایده‌آل (BSF). فیلتر ایده‌آل نواحی گذار بینهایت تیزی بین باندهای توقف $[-f_0-f_c,-f_0+f_c]\cup [f_0-f_c,f_0+f_c]$ و باندهای گذر $(-\infty,-f_0-f_c]\cup [-f_0+f_c,f_0+f_c] \cup [f_0+f_c,\infty)$ دارد.

با استفاده از تحلیل مشابه انواع قبلی فیلترهای ایده‌آل، میتوان عبارتهایی برای تابع تبدیل و پاسخ ضربه BSF ایده‌آل نوشت:

$\\ H_{BSF}(f)=G-H_{BPF}(f) \\ \\ h_{BSF}(t)=G\delta (t)-2h_{LPF}(t)cos(2\pi f_0t)$

فیلترهای تمام‌گذر ایده‌آل

در نهایت، فیلتر تمام‌گذر ایده‎‌آل (APF) تمامی اجزاء فرکانسی در ورودی را با یک تغییر مشترک و مشابه در دامنه آنها از خود عبور میدهد و فاز آنها را نیز بدون تغییر میگذارد (مطابق شکل 16):

$H_{APF}(f)=G$

پاسخ ضربه تنها یک ضربه است:

$\\ h_{APF}(t)=F^{-1}[H_{APF}(f)] \\ \\ =F^{-1}[G]=G\delta (t)$

شکل 16- تابع تبدیل فیلتر تمام‌گذر ایده‌آل

یک نمونه عام‌تر از APF شامل تاخیر نیز میشود و به همین دلیل تابع پاسخ ضربه آن به شکل زیر است:

$h_{APF}(t)=G \delta (t-D)$

نمایش بر حسب یک LPF نمونه اولیه

برای درک بهتر رابطه بین انواع مختلف فیلترهای ایده‌آل، بهتر است که از طریق نمایش آنها بر حسب یک تابع پاسخ فرکانسی واحد آنها را متحد کنیم: یک LFP نمونه اولیه. این فیلتر در شکل 17 نمایش داده شده است. این پاسخ تنها یک مستطیل با ارتفاع واحد و عرض واحد است. اجازه دهید بررسی کنیم که چگونه میتوان از این تابع برای نمایش تمام فیلترهای ایده‌آل مختلف استفاده کرد (البته به جز APF)

شکل 17- تابع تبدیل یک فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل نمونه اولیه

یک LPF ایده‌آل با فرکانس قطع $f_c$ و بهره واحد، یک نسخه تغییر مقیاس داده شده از فیلتر نمونه $L(f)$ است،

$H_L=L(f/2f_c)=rect(f/2f_c)$

اگر بهره LFP برابر با $G$ باشد، به سادگی این تابع تغییر مقیاس داده شده نمونه در $G$ ضرب میشود،

$H_L(f)=G.L(f/2f_c)$

یک فیلتر بالاگذر ایده‌آل با فرکانس قطع $f_c$ برابر با یک مقدار ثابت منهای فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل است،

$H_H(f)=G-H_L(f)=G.[1-L(f/2f_c)]$

به طور مشابه، هر BPF ایده‌آلی به شکل زیر بیان میشود:

$\\ H_{BP}(f)=H_L(f-f_0)+H_L(f+f_0) \\ \\ G\begin{bmatrix} L(\frac{f-f_0}{2f_c})+L(\frac{f+f_0}{2f_c}) \end{bmatrix}$

و هر فیلتر میان‌نگذری نیز به فرم زیر است:

$\\ H_{BS}(f)=G-H_{BP}(f) \\ \\ G\begin{bmatrix} 1-L(\frac{f-f_0}{2f_c})-L(\frac{f+f_0}{2f_c}) \end{bmatrix}$

فرض کنید $B=2f_c$ که همان عرض LPF، عرض باند گذر BPF و عرض باند عدم گذر HPF است. سپس میتوان جدول زیر را برای توابع تبدیل فیلترها بر حسب L(f) نوشت:

نام فیلتر	تابع تبدیل
LPF ایده‌آل	$H_L(f)=GL(f/B)$
HPF ایده‌آل	$H_H(f)=G[1-L(f/B)]$
BPF ایده‌آل	$H_{BP}(f)=G[L((f-f_0)/B)+L((f+f_0)/B)]$
BSF ایده‌آل	$H_{BS}(f)=G[1-L((f-f_0)/B)-L((f+f_0)/B)]$

جدول 1- فیلترهای ایده‌آل به صورت تابعی از پاسخ فرکانسی فیلتر پایین‌گذر نمونه L(f)=rect(f)

مثال

استخراج کلاک

فرض کنید یک شکل موج متناوب $s(t)$ با دوره تناوب $T$ داریم و میخواهیم از آن یک سیگنال کلاک سینوسی برای استفاده در سوییچینگ متناوب یک قطعه الکترونیکی استخراج کنیم. یک راه برای استخراج موج سینوسی مطلوب، استفاده از یک فیلتر ایده‌آل است.

سیگنال متناوب کلی در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل 18- دو تناوب از سیگنال متناوب کلی با تناوب $T$

در ابتدا میخواهیم سیگنال متناوب را در حوزه فرکانس بررسی کنیم. این کار به ما کمک میکند که تابع تبدیل فیلتر ایده‌آل که بخش فرکانسی مطلوب $s(t)$ را میخواهد استخراج کند، بهتر تصور کنیم. به این ترتیب میتوانیم مشاهده کنیم که چه اجزاء طیفی را باید نگه داریم (از فیلتر عبور کند) و چه اجزایی دور ریخته شوند (توسط فیلتر حذف شوند). همانطور که میدانید، طراحی یک فیلتر ایده‌آل کامل به سادگی با کشیدن مستطیلها و توابع پله قابل انجام است.

هر سیگنال متناوب به صورت یک سری فوریه قابل نمایش است، بنابراین میتوان بی درنگ عبارت زیر را برای $s(t)$ نوشت،

$s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{i2\pi (k/T)t}$

که از آن به سادگی میتوان تبدیل فوریه $s(t)$ را محاسبه کرد، زیرا میدانیم که تبدیل فوریه هر جزء موج سینوسی مختلط در فرمول بالا یک تابع ضربه است:

$\\ S(f)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_kF[e^{i2\pi (k/T)t}] \\ \\ =\sum_{-\infty}^{\infty}c_k \delta (f-k/T)$

شکل تبدیل فوریه بالا در زیر نشان داده شده است. ضرایب سری فوریه $c_k$ معمولا مقدار مختلط دارند اما در شکل مورد نظر آنها را به صورت عدد حقیقی نشان داده‌ایم.

شکل 19- یک نمایش شماتیک از تبدیل فوریه سیگنال متناوب که تبدیل نمایش سری فوریه آن است. هر فلش در این شکل یک تابع ضربه را نشان میدهد.

جز سینوسی مطلوب، فرکانسی برابر با فرکانس اصلی سری فوریه $f_0=1/T$ دارد. برای داشتن موج سینوسی با مقدار حقیقی در خروجی فیلتر نیاز است که اجزاء با فرکانسهای $\pm 1/T$ از فیلتر عبور داده شوند. فیلتر ایده‌آل ما نباید جزء فرکانسی دیگری را از خود عبور دهد که باعث ایجاد محدودیت روی عرض باند عبور آن شود. به طور خاص، این فیلتر نمیتواند عریض‌تر از $1/T$ باشد. شکل 20 مکان قرارگیری تابع تبدیل فیلتر میان‌گذر ایده‌آل مطلوب را نشان میدهد:

شکل 20- نمایش تابع تبدیل فیلتر میان‌گذر ایده‌آل که توانایی انتخاب اجزاء موج سینوسی مطلوب را برای ورودی سیگنال متناوب نشان داده شده در شکل 18 را دارد.

خروجی حوزه زمان فیلتر، کانولوشن ورودی با پاسخ ضربه فیلتر است اما بهتر است که در ابتدا با نمایش حوزه فرکانس سیگنالها کار کنیم. در این حالت، خروجی فیلتر حاصلضرب تبدیل فوریه ورودی با تابع تبدیل است،

$\\ Y(f)=S(f)H(f) \\ \\ =[\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\delta (f-k/T)] [rect(\frac{f-f_0}{f_0})+rect(\frac{f+f_0}{f_0})] \\ \\ =c_1\delta (f-1/T)+c_{-1}\delta(f+1/T) \\ \\ \Rightarrow Y(f)=c_1\delta (f-f_0+c_{-1}\delta(f+f_0))$

با فرض اینکه $s(t)$ حقیقی است، میدانیم که $c_1=c^*_{-1}$ . تبدیل معکوس فوریه $Y(f)$ منجر به نتیجه زیر میشود:

$\\ y(t)=F^{-1}[Y(f)] \\ \\ = \int^{\infty}_{-\infty}c_1\delta (f-f_0)e^{i2\pi ft}df + \int^{\infty}_{-\infty}c_{-1}\delta (f+f_0)e^{i2\pi ft}df \\ \\ = c_1e^{i2\pi f_0 t}+c_{-1}e^{-i2\pi f_0 t} \\ \\ = c_1e^{i2\pi f_0 t}+c^*_1e^{-i2\pi f_0 t} \\ \\ =2\left | c_1 \right |cos(2\pi f_0t+\phi_1)$

که $\angle c_1=\phi_1$

منبع: https://cyclostationary.blog

فیلترهای ایده‌آل

دیدگاه ها (0)

لغو پاسخ