سیگنالها

 

در این مقاله برخی خصوصیات سیگنالها بررسی میشوند. اما منظور از سیگنال چیست؟ در پردازش سیگنال، یک سیگنال معمولا به فرم یک تابع است. به عبارت دیگر، مقداری است که با یک یا چند متغیر، تغییر میکند. اگر مثلا شکل کلاسیک تابع به فرم y=f(x) را تصور کنیم، y یک سیگنال است که با مقدار دیگری همچون x تغییر میکند و این تغییرات مطابق با قاعده تعریف شده توسط f(.) است. در اینجا بیشتر علاقمند هستیم که تغییرات تابع با t باشد، مثلا y=s(t). معمولا بخش y= حذف میشود و فقط بر روی قاعده s(t) تمرکز میکنیم. مقدار s میتواند یک ولتاژ، یک جریان، اندازه میدان الکتریکی، اندازه میدان مغناطیسی و موارد مشابه باشد. ما معمولا با توابعی از زمان سروکار داریم زیرا بخش عمده‌ای از کارهای انجام شده در پردازش سیگنال و مهندسی برق همچون مخابره اطلاعات یا سنجش اطلاعات، در بازه زمانی و مکانی مشخص با استفاده از امواج الکترومغناطیسی متغیر، است.

بر اساس منبع ویکی‌پدیا، در پردازش سیگنال، یک سیگنال تابعی است که اطلاعاتی درباره یک پدیده را حمل میکند. بسیاری از مواردی که در ادامه می‌آید در ویکی‌پدیا، وبلاگهای مختلف و کتابهای پردازش سیگنال یافت میشوند.

 

 

انواع سیگنال

 

توصیف دوگانه‌های مختلف مربوط به سیگنالهای متفاوت، مفید است زیرا در پردازش سیگنال با سیگنالهای مختلفی روبرو میشویم و میخواهیم به سرعت بین ابزارهای مختلف پردازش سیگنال، مناسبترین موارد را برای کاربرد مورد نظر انتخاب کنیم، ابزارهایی که مفیدترین اطلاعات قابل دریافت از سیگنال را استخراج میکنند.

 

 

متناوب در مقابل نامتناوب

 

یک سیگنال s(t) متناوب است اگر در طول زمان t تکرار شود:

 

    \[ s(t)=s(t+T_0), \forall t \]

 

که T_0>0 دوره تناوب سیگنال نام دارد. اگر چنین تناوب T_0 ایی وجود نداشته باشد، آنگاه سیگنال یک سیگنال نامتناوب است. امواج سینوسی، ثابتها، تشعشع از یک ستاره نوترونی و بسیاری از قطارهای پالس متناوب هستند. نویز گیرنده، دنباله بیتها در یک سیگنال مخابراتی، صدای یک نهنگ، مقادیر روزانه بازار سهام و بسیاری از سیگنالهای دیگر که به فکرتان میرسد، نامتناوب هستند.

مجموع N دوره تناوب سیگنالها، میتواند متناوب باشد. شرط این گذاره آن است که تناوبهای مختلف لحاظ شده، متناسب باشند. به عبارت دیگر، هر جفت از تناوبها دارای خارج قسمت به شکل گویا باشد. بدین ترتیب مجموع سیگنال، یک تناوب دارد که ضریبی از هر تناوب مجزا و تکی است. اگر یک سیگنال سینوسی با تناوب 10 را با یک سینوسی با تناوب 11 جمع کنید، یک تابع متناوب با دوره تناوب 110 خواهید داشت.

اگر تناوبها نامتناسب باشند، آنگاه سیگنال مجموع حاصل، متناوب نخواهد بود، اما به نوعی به تابع متناوب نزدیک است و به همین دلیل تقریبا متناوب نامیده میشود.

 

شکل 1- نمایش سیگنالهای متناوب و نامتناوب مربوط به پردازش سیگنال ایستان گردشی. شکل بالا بخش حقیقی و موهومی موج سینوسی مختلط e^{i2\pi t/10 را نشان میدهد. شکل وسط دو موج سینوسی با مقدار حقیقی با فرکانسهای غیرگویا و مجموع آنها را نشان میدهد. هر موج سینوسی تکی متناوب است ولی مجموع آنها متناوب نیست. شکل پایین، یک سیگنال مخابراتی نامتناوب را نشان میدهد. علت عدم متناوب بودن، این است که مقادیر بیتها (\pm) که در پالسهای مستطیلی ضرب میشوند، تصادفی هستند.

 

 

تصادفی در مقابل قطعی

 

یک سیگنال قطعی، سیگنالی است که به طور کامل قابل پیش‌بینی است. یک مثال ساده، سیگنال با توصیف ریاضی دقیق شناخته شده است، همچون یک موج سینوسی یا مربعی. سیگنالهای متناوب، قطعی هستند زیرا اگر سیگنال بر روی یک دوره تناوب مشخص باشد، سیگنال را برای تمام مقادیر زمان t میشناسیم.

البته برخی سیگنالهای به ظاهر تصادفی همچون سیگنالهای آشوبی (chaotic) نیز قطعی هستند.

حال میرسیم به سیگنالهای تصادفی که قطعی نیستند و بنابراین نمیتوان آنها را پیش‌بینی کرد، حتی اگر مقادیر سیگنال را بر روی بازه زمانی نامحدود همچون t\in(-\infty,t_0) بشناسیم. انواع مختلفی از سیگنالهای تصادفی وجود دارند و به طور سنتی آنها از طریق مفهوم ریاضی فرآیندها توصیف میشوند (فرآیندهای تصادفی نیز نام دارند). به اعتقاد خیلی از افراد، یک سیگنال واقعی ایستان چرخشی (cyclostationary) از یک فرآیند تصادفی ایستان چرخشی تئوریک بوجود می‌آید. در اینجا، سیگنال به معنی یک تابع از زمان است و فرآیند، به مفهوم دسته‌ای نامحدود از چنین توابعی است.

 

شکل 2- نمایش سیگنالهای تصادفی و قطعی. شکل بالا بخشی از قطار پالس چهچهه (chirp) (یک سیگنال راداری) است که متناوب نیز هست و بنابراین به طور کامل قابل پیش‌بینی. بخش پایینی، قسمتی از سیگنال مدوله شده فرکانسی را نشان میدهد که ترکیبی از سیگنال حامل موج سینوسی قطعی و سیگنال پیام تصادفی است و بنابراین کل سیگنال یک سیگنال تصادفی است.

 

 

زمان-پیوسته در مقابل زمان-گسسته

 

سیگنالهای مخابراتی از طریق اتمسفر، فضا، دیوارها و غیره با سرعتی نزدیک به سرعت نور در خلاء منتشر میشوند و به طور دقیق به صورت توابعی از متغیر مستقل پیوسته t مدل میشوند و این چیزی است که در دنیای واقعی اتفاق می‌افتد. این بدین معنی است که t یک عدد حقیقی است. مدلهای ریاضی برای چنین سیگنالهایی خود توابعی از متغیر زمان-واقعی t هستند. هر چند که، به محض دریافت سیگنال از طریق ترکیبی از آنتنهای فیزیکی، گیرنده رادیویی و نمونه‌بردارها به یک مجموعه محدود از اعداد میرسیم. این اعداد معمولا مقادیر تابع زمان-پیوسته (سیگنال)، در مقادیر به فاصله زمانی منظم هستند و نه در تمام مقادیر زمانی ممکن. به عبارت دیگر، سیگنال زمان-پیوسته s_c(t) به سیگنال زمان-گسسته بدست آمده در رایانه s_c(nT_s) تبدیل میشود که T_s=1/f_s مقدار افزایش زمان نمونه‌برداری در هر نمونه است و f_s فرکانس نمونه‌برداری و n یک عدد صحیح است.

 

شکل 3- نمایش سیگنالهای زمان-پیوسته و زمان-گسسته. سیگنالهای زمان-پیوسته برای تمام لحظه‌های زمانی در یک بازه مشخص که معمولا (-\infty,\infty) است تعریف میشوند. سیگنالهای زمان-گسسته فقط در تعداد قابل شمارشی از لحظه‌های زمانی که معمولا k=0,T_s,2T_s,3T_s,... است، تعریف میشوند.

 

 

انرژی در مقابل توان

 

دوگانگی بعدی مربوط به انتگرال‌پذیر بودن (زمان-پیوسته) یا جمع‌پذیر بودن(زمان-گسسته) یک سیگنال میشود. اختلاف بین سیگنالهای انرژی و توان برای درک مفاهیم مربوط به سیگنالهای چرخشی ایستان، بسیار مهم است و فقط سیگنالهای توان میتوانند در این گروه قرار گیرند.

انرژی یک سیگنال روی بازه زمانی محدود با طول T عبارت است از:

 

    \[ E_s(T)=\sum_{t_0}^{t_0+T}|s(t)|^2dt \]

 

با استفاده از t_0=-T/2 یک تعریف نوعی و بهتر بدست می‌آید:

 

    \[ E_s(T)=\sum_{-T/2}^{T/2}|s(t)|^2dt \]

 

حال محاسبه انرژی روی تمامی زمانها و بدون محدودیت برای T را در نظر بگیرید:

 

    \[ E_s=\lim_{T\rightarrow \infty} E_s(T)=\sum_{-\infty}^{\infty}|s(t)|^2dt \]

 

اگر این حد وجود داشته باشد، به آن انرژی سیگنال s(t) میگوییم و سیگنال یک سیگنال انرژی خواهد بود. اگر حد مورد نظر وجود نداشته باشد (مثلا با افزایش E_s(T)، T هم بدون محدودیت افزایش یابد)، آنگاه سیگنال مورد نظر یک سیگنال انرژی نیست.

هر سیگنال که دارای بازه زمانی تعریف شده محدود باشد و بر روی این بازه، مجذور آن انتگرال‌پذیر باشد، یک سیگنال انرژی است. مثالهای آن شامل پالس مستطیلی، نمایی میرا همچون e^{t^2} و پالس چهچهه میشود.

توان یک سیگنال روی بازه زمانی T، متوسط انرژی سیگنال روی آن بازه است:

 

    \[ P_s(T)=\frac{E_s(T)}{T}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}|s(t)|^2dt \]

 

اگر توان اندازه‌گیری شده روی کل بازه زمانی، وجود داشته باشد و صفر نباشد:

 

    \[ P_s=\lim_{T\rightarrow \infty} P_s(T)>0 \]

 

آنگاه سیگنال یک سیگنال توان خواهد بود.

صرفنظر از جزییات ریاضی، سیگنالهای انرژی به صورت گذرا و موقتی هستند و سیگنالهای توان، دائمی و ممتد (که خود یک دوگانگی دیگر برای سیگنالها است). مثال از سیگنال توان شامل سیگنال مخابراتی BPSK با پالس مستطیلی، سیگنالهای مخابراتی QAM/PSK با پالسهای مختلف کسینوسی مربعی و همچنین نویز گوسین میشود.

 

شکل 4- نمایش سیگنالهای توان و انرژی. سیگنالهای توان، انرژی محدود دارند و در بعد زمان تا بینهایت ادامه دارند. سیگنالهای انرژی، توان صفر دارند و معمولا در زمان دارای بازه تعریف محدود هستند. اما این شرط لازم نیست زیرا برخی سیگنالهای انرژی برای تمامی زمانها غیرصفر هستند ولی همچنان توان صفر دارند همچون سیگنال گوسین در شکل بالا.

 

 

ایستان در مقابل غیر ایستان

 

مفهوم ایستان بودن معمولا برای فرآیندهای تصادفی به کار میرود. ایده اصلی این است که یک سیگنال ایستان دارای پارامترهای وابسته به توزیع احتمال، نامتغیر با زمان است. یک پارامتر وابسته به توزیع احتمال چیزی شبیه یک مقدار متوسط، خودهمبستگی، گشتاورهای مرتبه n، تابع توزیع و چگالی احتمال توأم مرتبه n و غیره است. برای یک سیگنال ایستان، چنین پارامترهایی وابسته به متغیر زمان t نیستند. اگر به مقدار متوسط s(t_1) (بر روی تمام نمونه‌هایی که فرآیند تصادفی را تشکیل میدهد) نگاه کنیم، این مقدار برای s(t_2) و برای تمام t_1 و t_2 های ممکن، یکسان خواهد بود. یک تفسیر آن است که سیگنال به لحاظ توزیع احتمالی، به یک شکل دیده میشود، فارغ از اینکه چه زمانی را برای مشاهده آن انتخاب کنید.

برای سیگنالهای غیرایستان، حداقل برخی از پارامترهای وابسته به توزیع احتمال، متغیر با زمان است. برای سیگنالهای ایستان چرخشی، حداقل برخی از این پارامترها، متغیر با زمان به شکل متناوب یا تقریبا متناوب خواهد بود که یک حالت خاص از غیرایستان بودن به شمار میرود.

 

 

آنالوگ در مقابل دیجیتال

 

این دوگانگی بیشتر مرتبط با مقادیری است که سیگنال میتواند اختیار کند تا مقادیری که متغیر مستقل (معمولا زمان t) میتواند داشته باشد. برای سیگنالهای آنالوگ، مقادیر ممکن سیگنال، اعداد حقیقی در یک بازه مشخص هستند (برای سیگنالهای مقدار-واقعی) یا اعداد مختلط در برخی حوزه‌های کاربردی خاص (بری سیگنالهای مقدار-مختلط).

از طرف دیگر، سیگنالهای دیجیتال، فقط مقادیری از یک مجموعه محدود را میتوانند اختیار کنند. یک مثال، خروجی مبدل آنالوگ به دیجیتال یا ADC است. سیگنال زمان-پیوسته به دستگاه وارد میشود و چیزی که از آن خارج میشود، سیگنال زمان-گسسته‌ای است که میتوان مقادیری داشته باشد که محدود به انتخاب از یک مجموعه مشخص از مقادیر است که این محدودیت خود توسط تعداد بیتهای مورد استفاده برای نمایش عدد دیجیتال و تقریب نمونه‌های بدست آمده، مشخص میشود.

 

شکل 5- نمایش سیگنالهای آنالوگ و دیجیتال. سیگنالهای آنالوگ میتوانند یکی از بینهایت مقادیر غیر قابل شمارش در هر لحظه از زمان را اختیار کنند. برای مثال، آنها میتوانند هر مقداری در بازه [-1,1] یا (-\infty,\infty) را داشته باشند. سیگنالهای دیجیتال فقط میتوانند یک مقدار از تعداد محدودی از مقادیر یک مجموعه را داشته باشند که اغلب الفبای سیگنال نامگذاری میشود. سیگنالهای آنالوگ و دیجیتال میتوانند زمان-پیوسته یا زمان-گسسته باشند.

 

 

مطلوب در مقابل نامطلوب

 

در پردازش سیگنال مخابراتی، ما اغلب با شرایطی مواجه میشویم که توسط سیگنالهای متعدد دارای همپوشانی در بعد زمان و فرکانس، مشخص میشود. معمولا در این بین یک سیگنال، سیگنال ماست و بقیه سیگنالهای تداخلی هستند. این سیگنال ما، سیگنال مطلوب (SOI) به شمار میرود و بقیه سیگنالها، نامطلوب (SNOI). برخی اوقات میخواهیم ساختار آماری تمامی سیگنالها را برای تسهیل پردازش سیگنال در جهت استخراج سیگنال مطلوب، بدانیم و برخی اوقات نیازی به دانستن درباره سیگنال نامطلوب نداریم.

 

شکل 6- نمایش سیگنال مطلوب و نامطلوب. سیگنالهای مطلوب، سیگنالهای هدف برای پردازش بیشتر، تعریف میشوند که فارغ از قصد و هدف فرستنده است. سیگنالهای نامطلوب نیز مابقی سیگنالها هستند. یک نمونه رایج، گیرنده مخابراتی است. فرستنده، سیگنال مورد نظر گیرنده را ارسال میکند که همان سیگنال مطلوب است، اما سیگنالهای دیگری ممکن است باند فرکانسی را اشغال کنند که همان موارد تداخلی هستند.

 

 

محدود در مقابل نامحدود

 

یک سیگنال محدود x(t)، سیگنالی است که شرط زیر در مورد آن صدق میکند:

 

    \[ |x(t)| < M \forall t, \]

 

که M یک عدد مثبت محدود است. سیگنالهای محدود شامل تمام سینوسی‌ها، قطارهای پالس مستطیلی، نمایی‌های دوطرفه میرا همچون e^{-|t|} و غیره میشوند. سیگنالهای نامحدود شامل تابع ضربه و نمایی‌های نامیرا و افزایشی همچون e^t میشوند.

 

شکل 7- نمایش سیگنالهای محدود و نامحدود. سیگنالها محدود، آنهایی هستند که اندازه آنها هرگز از یک مقدار عددی محدود M (که میتواند عدد بزرگی باشد) فراتر نمیرود. سیگنالهای نامحدود معمولا زمانی رخ میدهند که مسیر پسخور (feedback)، دچار انحراف میشود و این باعث میشود که خروجی یک مدار بدون توقف افزایش یابد.

 

 

 

 

منبع: https://cyclostationary.blog