تبدیل Z

 

در این مقاله، نگاهی به نسخه زمان-گسسته تبدیل لاپلاس، یعنی تبدیل Z‌ خواهیم داشت. از قضیه نمونه‌برداری میدانیم که در صورت فراهم کردن نمونه‌های کافی، میتوان بر روی نمونه‌های با فاصله منظم از هم برای هر سیگنال زمان-پیوسته با پهنای باند محدود x(t) متمرکز شد، بدون اینکه اطلاعاتی درباره x(t) با این کار از دست برود. سیگنال نمونه‌برداری شده به فرم ضربه‌ای y(t) به شکل زیر نوشته میشود:

 

    \[ \begin{aligned} y(t) = x(t) \sum_{k=- \infty}^{\infty} \delta (t-kT_s) \\ \\ = \sum_{k=- \infty}^{\infty} x(k T_s) \delta (t-kT_s) \end{aligned} \]

 

بنابراین این سیگنال نمونه‌برداری شده، به لحاظ اطلاعات،‌ معادل خود x(t) است و از آنجاییکه این سیگنال میتواند از مجموعه نمونه‌های {x(kT_s)} بازسازی شود، همین نمونه‌ها برای توصیف سیگنال آنالوگ کافی هستند.

میتوانیم راجب خواص سیگنال y(t) سوال کنیم. از دیدگاه تبدیل فوریه و لاپلاس، این سیگنال چگونه به نظر میرسد؟ بیایید بر روی تبدیل لاپلاس که عام‌تر است تمرکز کنیم و آن را بر روی y(t) اعمال کنیم. اعمال مستقیم تبدیل لاپلاس بر روی فرم نمونه‌برداری شده ضربه‌ای سیگنال، با توجه به خاصیت خطی بودن تبدیل، منجر به نتیجه زیر میشود:

 

    \[ \begin{aligned} Y(s) = \mathcal{L} [y(t)] = \mathcal{L} \left[\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT_s) \delta (t-kT_s) \right] \\ \\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT_s) \mathcal{L} [\delta (t-kT_s)] \end{aligned} \]

 

با توجه به مقاله تبدیل لاپلاس، میدانیم که \mathcal{L} \delta(t) =1. در مورد تبدیل \mathcal{L} [\delta(t-t_0)] که خیلی شبیه قبلی است، چطور؟. اجازه دهید تا مستقیم محاسبه کنیم:

 

    \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) e^{-st}dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) e^{-st_0}dt = e^{-s t_0} \]

 

بنابراین، تبدیل لاپلاس Y(s) به صورت زیر میشود:

 

    \[ Y(s) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k T_s) e^{skT_s} \]

 

که در واقع چندان مناسب و سودمند به نظر نمیرسد. اما اجازه دهید تا نحوه رهایی خود از این مشکل یا سردرگمی را با معرفی یک متغیر جدید z، تعریف کنیم:

 

    \[ z = e^{s T_s} = e^{\sigma +i2 \pi f) T_s} \]

 

که وقتی در عبارت ما برای Y(s) استفاده شود، منجر به Y(z) میشود:

 

    \[ \begin{aligned} Y(s) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT_s) (e^{s T_s})^{-k} \\ \\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT_s) z^{-k} = Y(z) \end{aligned} \]

 

این تبدیل Z‌ است.

 

لازم به یادآوری است که یک نگرانی و مساله مهم در دنیای تبدیل لاپلاس، همگرایی تبدیل است که به مقدار بخش حقیقی متغیر s=\sigma +i2 \pi f که همان \sigma است، بستگی دارد. تبدیلهای لاپلاس بر اساس مقدار \sigmaهمگرا (به صورت تابع عادی وجود دارد) یا واگرا (عدم وجود) میشوند – آنها در واقع برای نیم‌صفحه‌ای از صفحه s برای یک مقدار مشخص از \sigma همچون \sigma=\sigma_0 وجود دارند. برخی اوقات \sigma_0 \to \infty که به معنی وجود تبدیل برای تمامی مقادیر s است.

برای تبدیل Z، میتوان پیش‌بینی کرد که نواحی همگرایی شامل بخشهای درونی دایره‌هایی در صفحه z به مرکز مبدأ خواهند بود. این بدین علت است که نگاشت z=e^{\sigma +i2 \pi f}، نیم‌صفحه‌ در صفحه s‌ را به دوایر به مرکز مبدأ در صفحه z‌ تبدیل میکند. اجازه دهید تا نگاهی به این مساله با جزییات بیشتر داشته باشیم. نگاشت عبارت است از:

 

    \[ z=e^{sT_s} = e^{\sigma +i2 \pi f)T_s} = e^{\sigma T_s} e^{i 2 \pi f T_s} \]

 

که به معنی آن است که:

 

    \[ |z| = e^{\sigma T_s} \ \ \ \ \ \ \ \ \angle z = i2 \pi f T_s \]

 

به خاطر بسپارید که در صفحه s، که مرتبط با تبدیل لاپلاس است، بخش حقیقی s مقدار \sigma است و بخش موهومی 2 \pi f. بنابراین، صفحه توسط \sigma در طول محور x و f‌ در طول محور y مشخص میشود. 

حال میدانیم که تابع e^x بر روی بازه x \in (-\infty, \infty)، طور اکیدأ صعودی است و \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 و \lim_{x \to \infty} e^x \to \infty. همچنین، e^0=1. بنابراین، برای بازه x<0 داریم:‌ e^x<1 و برای x>0 نیز داریم:‌ e^x>1. 

حال تمام نقاط صفحه s که در آنها \sigma = 0 است را در نظر بگیرید که برابر است با s=i2 \pi f که همان محور y است (این بخش مهمی از صفحه s است زیرا این قسمت تبدیل فوریه را به تبدیل لاپلاس متصل میکند). برای این مجموعه از نقاط در صفحه s، متغیر z‌ برابر است با:

 

    \[ z = e^0 e^{i2 \pi f T_s} = e^{i2 \pi f T_s} \]

 

و از آنجاییکه f میتواند هر عدد حقیقی باشد، در این حالت متغیر z عددی با اندازه واحد و هر مقدار فازی میتواند باشد، به عبارت دیگر عددی بر روی دایره واحد در صفحه z. بنابراین میتوان ملاحظه کرد که تمام محور فرکانس در صفحه s به دایره واحد در صفحه z نگاشت میشود. 

زمانیکه \sigma = \sigma_- <0، آنگاه:

 

    \[ z = e^{\sigma_- T_s} e^{i2 \pi f T_s} \]

 

که مجموعه نقاطی بر روی دایره با شعاع e^{-|\sigma_- | T_s}<1 و به مرکز مبدأ است. به طور مشابه، برای \sigma=\sigma_+ >0، نقاط صفحه s بر روی خط عمودی {(\sigma_+,f)} به دایره با شعاع \e^{\sigma_+ T_s} و به مرکز مبدأ نگاشت میشود. 

حال نیم‌صفحه‌ای از صفحه s به شکل s \in {(\sigma<\sigma_-,f)} را در نظر بگیرید. این نقاط به مجموعه نقاط z=e^{\sigma T_s}e^{i 2 \pi f T_s} با \sigma<\sigma_- نگاشت میشوند که نقاط داخل دایره با شعاع e^{-|\sigma_-|T_s} و به مرکز مبدأ هستند (شرایط را وقتی \sigma \to -\infty نیز در نظر بگیرید).

به طور مشابه، برای نیم‌صفحه s \in {(\sigma>\sigma_+,f)}، مقادیر s به نقاط خارج از دایره در صفحه z با شعاع e^{\sigma_+ T_s} نگاشت میشوند (شرایط را وقتی \sigma \to \infty نیز بررسی کنید).

در نهایت درک شهودی ما چنین خواهد بود که نواحی همگرایی برای جمع تبدیل Z، شامل نواحی داخل یا خارج از دایره‌هایی به مرکز مبدأ در صفحه z است. بیایید این مساله را بررسی کنیم.

در ابتدا، میدانیم که همچون شرایطی که در تبدیل لاپلاس داشتیم، دو نوع تبدیل Z‌ وجود دارد:‌یکطرفه و دوطرفه. فرمولی که در بالا برای تبدیل Z‌ ارائه شد،‌ همان تبدیل دوطرفه است. تبدیل یکطرفه، که برای سیگنالها و سیستمهای علّی (causal) مناسب است، به سادگی عبارت است از:

 

    \[ \mathcal{Z}[x(kT_s)] = X(z) = \sum_{k=0}^{\infty} x(k T_s) z^{-k} \]

 

و این همان تبدیل Z ایی است که روی آن تمرکز خواهیم داشت. 

 

 

مثالهایی از تبدیل Z

 

 

تبدیل Z یک ضربه

 

در اینجا، سیگنال مدنظر ما یک پالس زمان-گسسته یا تابع دلتا کرونکر (Kronecker delta) است که به شکل زیر تعریف میشود:

 

    \[ x(kT_s) = \begin{cases} 1 \ \ \ \ k=0 \\ 0 \ \ \ \ otherwise \end{cases} \]

 

شکل ۱- یک تابع ضربه زمان-گسسته

 

محاسبه تبدیل (یکطرفه) Z در این حالت بسیار ساده است (و البته به سادگی قابل حدس نیز است):

 

    \[ \mathcal{Z} [x(kT_s)] = \sum_{k=0}^{\infty} x(kT_s) z^{-k} = x(0) z^{-0} = 1 \]

 

که به وضوح برای تمام مقادیر z معتبر و درست است، بنابراین تبدیل روی تمام صفحه z وجود دارد.

 

 

تبدیل Z یک تابع پله واحد

 

در اینجا، سیگنال زمان-گسسته ما به شکل زیر تعریف میشود:

 

    \[ x(kT_s) = \begin{cases} 1 \ \ \ \ k \ge 0 \\ 0 \ \ \ \ k<0 \end{cases} \]

 

همانطور که در شکل ۲ نشان داده شده است.

 

شکل ۲- تابع پله واحد زمان-گسسته

 

اعمال تبدیل Z منجر به یک جمع نامتناهی (هندسی) میشود:

 

    \[ \mathcal{Z} [x(kT_s)] = \sum_{k=0}^{\infty} (1) z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty} z^{-k} \]

 

لازم به یادآوری است که سری هندسی محدود به شکل زیر است:

 

    \[ S = \sum_{k=0}^{N-1} a^k = S_a(N) = \frac{1-a^N}{1-a} \ \ \ \ (a \ne 1) \]

 

(که به سادگی قابل اثبات است). بنابراین،‌ تبدیل Z تابع پله واحد به صورت زیر بدست می‌آید:

 

    \[ \mathcal{Z} [u(kT_s)] = U(z) = \lim_{N \to \infty} \left[\frac{1-z^{-1 N}}{1-z^{-1}} \right] \]

 

باید بدانیم که تحت چه شرایطی بر روی z=e^{sT_s}=e^{(\sigma+i2 \pi f) T_s} این جمع نامحدود،‌ همگرا میشود؟ فعلا میدانیم که S_a(N) تحت شرط |a|<1 به مقدار 1/(1-a) همگرا میشود. بنابراین، نیاز داریم که:

 

    \[ |z^{-1}| = e^{-\sigma T_s}<1 \]

 

یا \sigma>0. شاید به صورت ساده‌تر بتوان نوشت:‌ |z^{-1}<1 \Rightarrow |z|>1 که در شکل ۳ نمایش داده شده است. نتیجه نهایی عبارت است از:

 

    \[ U(z) = \frac{1}{1-1/z} \ \ \ \ (|z|<1) \]

شکل ۳- ناحیه همگرایی تبدیل Z یک تابع پله واحد زمان-گسسته (ناحیه سایه زده)

 

شایان ذکر است که دو تبدیل محاسبه شده تا کنون برای حوزه فوریه و لاپلاس به شرح زیر است:

 

    \[ \begin{aligned} \mathcal{F} [u(t)] = U(f) - \frac{1}{2}\delta (f) + \frac{1}{i2 \pi f} \\ \\ \mathcal{L} [u(t)] = U(s) = \frac{1}{s}, \mathcal{R} (s)= \sigma >0 \end{aligned} \]

 

مطابق انتظار و البته به شکل راضی کننده، تبدیل Z یک تابع پله واحد بیشتر شبیه تبدیل لاپلاس همین تابع است تا تبدیل فوریه آن و یک تابع گویا از متغیر z است. 

 

پیشنهاد: فیلم آموزشی “دنباله‌های زمان-گسسته اصلی در پردازش سیگنال دیجیتال”‌ را مشاهده کنید. 

 

 

تبدیل Z‌ یک نمایی میرا (decaying exponential)

 

 

از مبحث فیلترهای کاربردی میدانیم که چندین تابع پاسخ ضربه به فرم نمایی‌های حقیقی میرا یا تابع پاسخ ضربه شامل یک نمایی مدوله شده (modulated) و یا یک نمایی ترکیب شده با توابع ساده دیگر، وجود دارند. در اینجا، وقتی که به تبدیل Z یک نمایی حقیقی میرا نگاه میکنیم، در واقع تبدیلهای توابع پاسخ ضربه برای سیستمهای زمان-گسسته را مشاهده میکنیم. 

تابع مورد نظر با پارامتر a به شکل زیر تعریف میشود:

 

    \[ x(kT_s) = e^{-akT_s} u(kT_s) \ \ \ \ (a>0) \]

 

چیزی فراتر از یک نمایی میرای زمان-پیوسته نمونه‌برداری شده نیست.

 

شکل ۴- یک نمایی میرای حقیقی همچون فرمول بالا

 

با اعمال تعریف تبدیل Z، مجموعه معادلات زیر حاصل میشوند:

 

    \[ \begin{aligned} X(z) = \mathcal{Z} [x(kT_s)] = \sum_{k=0}^{\infty} e^{-akT_s} z^{-k} \\ \\ = \sum_{k=0}^{\infty} [e^{-aT_s z^{-1}}]^k \\ \\ = \sum_{k=0}^{\infty} b^k \ \ \ \ (b=e^{-aT_s z^{-1}}) \\ \\ =\frac{1}{1-b} \ \ \ \ |b|<1 \\ \\ =\frac{1}{a-e^{-aT_s}z^{-1}} \ \ \ \ |e^{-aT_s}z^{-1}|<1 \end{aligned} \]

 

یا با بازنویسی شرط همگرایی داریم:

 

    \[ X(z) = \frac{1}{a-e^{-aT_s}z^{-1}} \ \ \ \ \ |z|>a^{-aT_s} \]

 

از آنجا که a>0 است، آنگاه e^{-aT_s}<1 و ناحیه همگرایی شامل دایره واحد مطابق شکل ۵ میشود.

 

شکل ۵- ناحیه همگرایی تبدیل Z‌ یک نمایی حقیقی میرا (ناحیه سایه زده)

 

 

تبدیل Z یک نمایی مختلط

 

برخلاف نمایی حقیقی، که با گذر زمان به بینهایت، یا به سمت مقدار صفر مایل میشود و یا به بینهایت میل میکند، نمایی مختلط یک تابع متناوب است. به طور خاص، همانطور که بارها دیده‌ایم، نمایی میرا، جمع دو موج سینوسی حقیقی با فاز تربیعی (quadrature) است:

 

    \[ e^{i2 \pi ft} = cos(2 \pi ft) + i. sin(2\pi ft) \]

 

در وضعیت زمان-گسسته فعلی، ما در واقع نمایی مختلط نمونه‌برداری شده زیر را داریم:

 

    \[ x(kT_s) = e^{i2 \pi f_0(kT_s)} u(kT_s) \]

 

که یک موج سینوسی است و به سادگی میتوان تبدیل Z یکطرفه را در اینجا به کار برد و از فرمول سری هندسی نامتناهی که قبلا ارائه شد، استفاده کرد. با صرفنظر از مراحل گام به گام تعریف مورد نظر، نتیجه‌ای مشابه آنچه که برای نمایی حقیقی داشتیم، حاصل میشود:

 

    \[ \begin{aligned} X(z) = \mathcal{Z}[x(kT_s)] = \sum_{k=0}^{\infty} e^{i2 \pi f_0(kT_s)} z^{-k} \\ \\ =\frac{1}{1-e^{i2 \pi f_0(kT_s)}z^{-1}} \ \ \ \ |z|<1 \end{aligned} \]

 

ناحیه همگرایی، مشابه تابع پله واحد است که در شکل ۳ نمایش داده شده است. اما چرا چنین حدسی میزنیم؟ راهنمایی:‌ یکی حالت خاص دیگری است. 

جمع موجود در تعریف تبدیل Z، یک عملگر خطی است که نتیجه آن این عبارت است که تبدیل Z جمع چند سیگنال برابر با جمع تبدیل Zهای آن سیگنالها است:

 

    \[ \begin{aligned} \mathcal{Z}[a_1x_1(kT_s)+a_2x_2(kT_s)] = \mathcal{Z}[a_1x_1(kT_s)] +\mathcal{Z}[a_1x_1(kT_s)] \\ \\ =a_1X_1(z) + a_2X_2(z) \end{aligned} \]

 

میتوان از این ویژگی خطی برای محاسبه تبدیل Zهای موجهای سینوسی حقیقی استفاده کرد.

 

 

تبدیل Z‌ یک موج سینوسی

 

میتوانیم از فرمول اویلر برای محاسبه سیگنال سینوسی بر حسب نمایی مختلط استفاده کنیم:

 

    \[ \begin{aligned} x(kT_s) = sin(2 \pi f_0 kT_s) = \frac{1}{2i} [e^{i2 \pi f_0 kT_s} - e^{-i2 \pi f_0 kT_s}] \\ \\ = \frac{-i}{2} [e^{i2 \pi f_0 kT_s} - e^{i2 \pi (-f_0) kT_s}] \end{aligned} \]

 

حال میتوان از نتیجه تبدیل Z‌ یک نمایی مختلط به همراه ویژگی خطی بودن تبدیل Z‌ و عملیات جبری برای محاسبه تبدیل Z نهایی استفاده کرد:

 

    \[ X(z) = \frac{z^{-1}sin(2\pi f_0 T_s)}{1-2z^{-1}cos(2\pi f_0 T_s)+z^{-2}} \ \ \ \ |z|>1 \]

 

 

تبدیل Z و سیستمهای زمان-گسسته خطی تغییرناپذیر با شیفت (زمان)

 

فرض کنید که سیستم زمان-پیوسته مرتبه یک که رابطه ورودی و خروجی آن توسط معادله دیفرانسیل زیر تعریف میشود را داریم:

 

    \[ \tav y^{'}(t)+y(t)=x(t) \]

 

میتوانیم این سیستم را در حوزه زمان-گسسته از طریق نمونه‌برداری هر T_s ثانیه، به شکل زیر بررسی کنیم:

 

    \[ \tav y^{'}(kT_s)+y(kT_s)=x(kT_s) \]

 

حال اگر مقدار T_s (معکوس نرخ نمونه‌برداری f_s = 1/T_s) به قدر کافی کوچک باشد، مشتق y^{'}(kT_s) به خوبی توسط معادله دیفرنس زیر تقریب زده میشود:

 

    \[ y^{'}(kT_s) = \frac{y(kT_s)-y((k-1)T_s)}{T_s} \]

 

و معادله دیفرانسیل بالا به شکل یک معادله دیفرنس در می‌آید:

 

    \[ \begin{aligned} \frac{\tav}{T_s}y(kT_s)-\frac{\tav}{T_s}y(kT_s-T_s)+y(kT_s) = x(kT_s) \\ \\ \frac{\tav}{T_s}y(kT_s-T_s) + \left[1+\frac{\tav}{T_s} \right]y(kT_s)=x(kT_s) \\ \\ \frac{\tav/T_s}{1+\tav/T_s}y(kT_s-T_s)+y(kT_s)=\frac{1}{1+\tav/T_s}x(kT_s) \end{aligned} \]

 

از آنجاییکه فاکتور ضرب شونده در ورودی x(kT_s) فقط پاسخ سیستم را تغییر مقیاس میدهد (ما صرفاً میتوانیم ورودی جدید b(kT_s) = \frac{1}{1+\tav/T_s} را در نظر بگیریم)، میتوانیم معادله دیفرنس مرتبه اول کلی زیر را با ثابت k تعریف کنیم:

 

    \[ Ky(kT_s-T_s)+y(kT_s)=x(kT_s) \]

 

بیایید این سیستم زمان-گسسته را با دانش تبدیل Z که تا کنون بدست آورده‌ایم، تحلیل کنیم. از آنجا که معادله دیفرنس برای تمامی زمانها برقرار است، از تبدیل دو طرفه در اینجا استفاده خواهیم کرد:

 

    \[ \begin{aligned} \mathcal{Z} [Ky(kT_s-T_s)+y(kT_s)]=\mathcal{Z}[x(kT_s)] \\ \\ K \mathcal{Z} [y(kT_s-T_s)]+\mathcal{Z} y(kT_s)]=\mathcal{Z}[x(kT_s)] \\ \\ K \mathcal{Z} [y(kT_s-T_s)] + Y(z) = X(z) \\ \\ K \sum_{k=-\infty}^{\infty} y((k-1)T_s)z^{-k} +Y(z) = X(z) \end{aligned} \]

 

فرض کنید k_0=k-1 و با یک تغییر متغیر در جمع نهایی داریم:

 

    \[ Kz^{-1}Y(z) + Y(z)=X(z) \]

 

یا

 

    \[ \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{1+Kz^{-1}} \]

 

آیا عبارت بالا مشابه تابع تبدیل یک سیستم خطی نامتغیر با زمان پیوسته بر اساس تبدیل Z زمان-گسسته است؟ اگر چنین باشد، انتظار داریم که خروجی سیستم برای ورودی سینوسی x(kT_s)=e^{i2 \pi f_0kT_s} برابر با y(kT_s)=H(f_0)x(kT_s) باشد که در آن H(.) مربوط به Y(z)/X(z) در عبارت بالا است. میتوانیم این موضوع رو به طور مستقیم بررسی کنیم:

 

    \[ \begin{aligned} y(kT_s)+Ky(kT_s-T_s)=x(kT_s) \\ \\ \Rightarrow H(f_0)e^{i2\pi f_0kT_s} +KH(f_0)e^{i2\pi f_0(k-1)T_s}=e^{i2\pi f_0kT_s} \\ \\ H(f_0)(1+Ke^{-i2\pi f_0T_s})=1 \\ \\ (H(z) \Big|_{z=e^{i2\pi f_0T_s}})(1+Ke^{-i2\pi f_0T_s})=1 \end{aligned} \]

 

رابطه بالا منجر به این میشود که H(z)=Y(z)/X(z) پاسخ فرکانسی سیستم باشد زمانیکه z محدود به قرار گرفتن روی دایره واحد z=e^{i2\pi f_0T_s} باشد. این مساله در بخش بررسی رابطه بین تبدیل Z‌ و کانولوشن، بیشتر تحلیل خواهد شد زیرا از ابتدا میدانیم که کانولوشن زمان-گسسته، ورودی و خروجی سیستمهای خطی نامتغیر با شیفت را به هم مربوط میسازد. 

 

 

تبدیل Z و عملیات پردازش سیگنال

 

در این بخش نگاهی به نحوه انعکاس عملیات ریاضی مختلف روی سیگنالها در تبدیلهای Z آنها خواهیم داشت. به عنوان پردازشگر سیگنال، علاقمند به استفاده و فهم اطلاعات آماری سیگنالهای مخابراتی هستیم و در این مسیر نیاز به عملیات پردازش سیگنالی همچون تاخیر سیگنال، تغییر مقیاس، ضرب و کانولوشن داریم. 

 

 

تاخیر (Delay)

 

فرض کنید سیگنال تاخیر یافته برابر با y(kT_s)=x(kT_s-DT_s) باشد که D\ge 0 و x(kT_s)=x(kT_s)u(kT_s). عمل تاخیر در شکل ۶ برای D=2 نمایش داده شده است.

از آنجا که x(kT_s) سیگنال علّی است و D \ge 0، آنگاه y(kT_s) نیز علّی است. تبدیل Z برای y(kT_s) به سادگی به شکل زیر محاسبه میشود:

 

    \[ \begin{aligned} Y(z) = \mathcal{Z} [y(kT_s)] = \mathcal{Z} [x(kT_s-DT_s)] \\ \\ =\sum_{k=D}^{\infty}x((k-D)T_s)z^{-k} \\ \\ =\sum_{k=0}^{\infty}x(kT_s)z^{-(k+D)} \\ \\ =z^{-D} \sum_{k=D}^{\infty}x(kT_s)z^{-k} \\ \\ \Rightarrow Y(z)=z^{-D}X(z) \ \ \ \ \ (D\ge 0) \end{aligned} \]

 

شکل ۶- یک سیگنال زمان-گسسته x(kT_s) و نسخه تاخیر یافته آن y(kT_s)

 

اگر D=1، آنگاه Y(z)=z^{-1}X(z). به عبارت دیگر، اگر یک سیگنال به اندازه یک نمونه تاخیر یابد، تبدیل Z سیگنال تاخیر یافته برابر با ضرب عبارت z^{-1} در تبدیل Z سیگنال اصلی. به همین علت است که در بلوک دیاگرام پردازش سیگنال، اجزاء تاخیر سیگنال را با جعبه‌های با مقدار z^{-D} نشان میدهند که در واقع به طور خلاصه بیانگر کاری است که آن بلوک انجام میدهد:‌ تاخیر سیگنال ورودی به اندازه D نمونه. 

 

 

پیشروی (Advance)

 

در اینجا سیگنال x(kT_s) به جای حرکت به سمت راست در راستای محور زمان، به سمت چپ حرکت میکند، و بنابراین در رابطه زیر D \ge 0 است:

 

    \[ y(kT_s)=x(kT_s+DT_s) \ \ \ \ \ D\ge 0 \]

 

اگر با دقت مراحل را دنبال کنیم، به معادلات زیر میرسیم:

 

    \[ \begin{aligned} \mathcal{Z}[y(kT_s)]= \mathcal{Z}[x((k+D)T_s)] \\ \\ =\sum_{k=0}^{\infty}x((k+D)T_s)z^{-k} \\ \\ =\sum_{k_0=D}^{\infty}x(k_0 T_s)z^{-(k_0-D)} \\ \\ = z^D \left [\sum_{k=D}^{\infty}x(kT_s)z^{-k} \right] \\ \\ = z^D \left [\sum_{k=0}^{D-1}x(kT_s)z^{-k} - \sum_{k=0}^{D-1}x(kT_s)z^{-k} + \sum_{k=D}^{\infty}x(kT_s)z^{-k} \right] \\ \\ \Rightarrow Y(z)=z^D X(z)-z^D \left[\sum_{k=0}^{D-1}x(kT_s)z^{-k} \right] \end{aligned} \]

 

 

تغییر مقیاس (Scaling)

 

از آنجا که تبدیل Z، به صورت یک جمع شامل x(kT_s) ضرب در توانهای z است، اگر x(kT_s) را تغییر مقیاس دهیم، به سادگی در حال تغییر مقیاس X(z) هستیم. این موضوع،‌ در نتیجه خطی بودن عمل جمع است:

 

    \[ x(kT_s) \Leftrightarrow X(z) \ \ \Rightarrow \ \ Ax(kT_s) \Leftrightarrow AX(z) \]

 

پیشنهاد: فیلم آموزشی “عملیات ریاضی در دنباله‌های زمان-گسسته اصلی در پردازش سیگنال دیجیتال”‌ را مشاهده کنید. 

 

 

کانولوشن (Convolution)

 

ما قبلا نشان دادیم که سیستمهای خطی تغییرناپذیر با شیفت زمان-گسسته (نسخه زمان گسسته سیستمهای خطی تغییرناپذیر با زمان زمان-پیوسته)، توسط پاسخ ضربه و تابع تبدیل‌شان مشخص میشوند، همچنان که خروجی y(k) سیستم،‌ برابر با کانولوشن ورودی x(k) و پاسخ ضربه h(k) است. تابع تبدیل H(f) یا پاسخ فرکانسی، تبدیل فوریه زمان-گسسته h(k) است. 

بنابراین، کانولوشن برای سیستمهای خطی نقش محوری دارد و تبدیل Z یک ابزار آنالیز قوی برای سیستمهای زمان-گسسته است – حتی قوی‌تر از تبدیل فوریه گسسته – بنابراین لازم و ضروری است که ارتباط بین تبدیل Z و کانولوشن بررسی شود. 

فرض کنید که کانولوشن زیر بین دو دنباله زمان-گسسته x(kT_s) و w(kT_s) را داریم:

 

    \[ y(kT_s) = \sum_{j=-\infty}^{\infty} z(jT_s)w((k-j)T_s) \]

 

تبدیل Z سیگنال y(kT_s) چیست؟ اجازه دهید تا از تبدیل Z‌ دوطرفه برای یافتن راه‌حل استفاده کنیم:

 

    \[ \begin{aligned} Y(z)=\mathcal{Z}_2[y(kT_s)] = \mathcal{Z}_2 \left[\sum_{j=-\infty}^{\infty}x(jT_s)w((k-j)T_s) \right] \\ \\ =\sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[\sum_{j=-\infty}^{\infty}x(jT_s)w((k-j)T_s) \right]z^{-k} \\ \\ =\sum_{j=-\infty}^{\infty} x(jT_s) \left[\sum_{k=-\infty}^{\infty} w((k-j)T_s) z^{-k} \right] \\ \\ =\sum_{j=-\infty}^{\infty} x(jT_s) \left[\sum_{k_0=-\infty}^{\infty} w(k_0 T_s) z^{-(k_0+j)} \right] \\ \\ =\underbrace{\left [\sum_{j=-\infty}^{\infty} x(jT_s)z^{-j} \right]}_{X(z)}\underbrace{\left [\sum_{k=-\infty}^{\infty} w(kT_s)z^{-k} \right]}_{W(z)} \\ \\ \Rightarrow Y(z) = X(z)W(z) \end(aligned} \]

 

بنابراین، دوباره با این نکته روبرو میشویم که تبدیل کانولوشن برابر با حاصلضرب تبدیلها در هم است. مساله تبدیل کانولوشنها به ضربهای ساده، یک دلیل کلیدی و مهم برای مطالعه و استفاده از تبدیلهای از انواع مختلف است. 

آیا میتوانید ثابت کنید که این نتیجه برای سیگنالهای علّی و تبدیل یکطرفه نیز برقرار است؟

 

پیشنهاد: فیلم آموزشی “کانولوشن و همبستگی در دنباله‌های زمان-گسسته”‌ را مشاهده کنید. 

 

 

تبدیل Z، پاسخ فرکانسی و FFT

 

برای یک سیستم خطی تغییرناپذیر با شیفت، خروجی سیستم برای ورودی متناظر که یک ضربه یا تابع دلتا است را تابع پاسخ ضربه گویند:

 

    \[ \delta(kT_s) \rightarrow h(kT_s) \]

 

از آنجا که سیستم، تغییرناپذیر با شیفت است، داریم:

 

    \[ \delta((k-k_0)T_s) \rightarrow h((k-k_0)T_s) \]

و قبلاً نیز دیدیم که هر سیستم زمان-گسسته را میتوان به صورت مجموع ضربه‌های شیفت داده شده نشان داد:

 

    \[ x(kT_s) = \sum_{j=-\infty}^{\infty} x(jT_s)\delta (kT_s-jT_s) \]

 

با ترکیب همه این گذاره‌ها، میتوان مشاهده کرد که خروجی سیستم برای هر ورودی x(kT_s)، یک کانولوشن است:

 

    \[ x(kT_s) \rightarrow \sum_{j=-\infty}^{\infty} x(jT_s) h((k-j)T_s)=y(kT_s) \]

 

و طبق نتایج مرتبط با قضیه کانولوشن:

 

    \[ Y(z) = H(z)X(z) \]

 

فرض کنید که ورودی، یک موج سینوسی علّی است:

 

    \[ x(kT_s) = e^{i 2 \pi f_0 k T_s} u(kT_s) \]

 

آنگاه داریم:

 

    \[ e^{j 2 \pi f_0 k T_s} u(kT_s) \Leftrightarrow \frac{1}{1-e^{i2 \pi f_0 T_s }z^{-1}} \]

 

بنابراین، تبدیل Z‌ خروجی برای این موج سینوسی ورودی عبارت است از:

 

    \[ Y(z) = \left[\frac{1}{1-e^{i2 \pi f_0 T_s }z^{-1}} \right]H(z) \]

 

برای سیستم مرتبه یک ما میتوان نوشت:

 

    \[ H(z) = \frac{1}{1+Kz^{-1}} \]

 

و قابل اثبات است که:

 

    \[ y(kT_s)=\frac{e^{i2 \pi f_0 k T_s }}{1+Ke^{-i2 \pi f_0 T_s }} = e^{2 \pi f_0 k T_s } H(z) \Big||_{z= e^{i2 \pi f_0 T_s }} \]

 

بنابراین، خروجی برای موج سینوسی ورودی، تنها یک نسخه تغییر مقیاس داده شده از همان موج سینوسی ورودی است.

به طور کلی، پاسخ فرکانسی یک سیستم خطی تغییرناپذیر با شیفت زمان-گسسته، توسط تبدیل Z پاسخ ضربه آن در فرکانس مطلوب مشخص میشود:

 

    \[ Frequency Response = H(z) \Big|_{z =e^{i2 \pi f T_s }} \]

 

که لازم است تا تبدیل H(z) ناحیه همگرایی داشته باشد که شامل دایره واحد در صفحه z باشد زیرا پاسخ فرکانسی برابر با H(z) برای مقادیر z‌ روی دایره واحد است. این موضوع قابل مقایسه با حالت زمان-پیوسته است که در آن پاسخ فرکانسی برابر با تبدیل لاپلاس H(s) برای مقادیر s روی محور f است، البته اگر در آنجا وجود داشته باشد.

بیایید نگاهی به این مساله داشته باشیم که تعیین مقدار تبدیل Z‌ روی دایره واحد بر حسب عملیاتی که تا کنون با آن مواجه شده‌ایم، به چه معناست.

 

    \[ \begin{aligned} X(z)\Big|_{z = e^{i2 \pi f T_s }} = \left[\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT_s) z^{-k} \right] \Big|_{z=e^{i2 \pi f T_s }} \\ \\ =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT_s) e^{-i 2 \pi fkT_s} \end{aligned} \]

که تبدیل فوریه فرکانس-پیوسته و زمان-گسسته x(kT_s) است. حال فرض کنید که x(kT_s) فقط برای بازه 0 \le k \le K-1، غیرصفر باشد. آنگاه داریم:

 

    \[ X(z)\Big|_{z = e^{i2 \pi f T_s }} =\sum_{k=0}^{K-1} x(kT_s) e^{-i 2 \pi fkT_s} \]

 

حال میخواهیم این تابع را در K فرکانس با فاصله یکسان جدا از هم که متناظر با یک دور کامل بر روی دایره واحد است،‌ نمونه‌برداری کنیم. برای مثال، f=j/(KT_s), j=0,1,...,K-1. در نتیجه،‌ تابعی از فرکانس در بازه jام زیر را خواهیم داشت:

 

    \[ \begin{aligned} X(j) = \sum_{k=0}^{K-1} x(kT_s) e^{-i2 \pi (j/KT_s)(kT_s)} \ \ \ \ \ j=0,1,...,K-1 \\ \\ =\sum_{k=0}^{K-1} x(kT_s) e^{-i2 \pi jk/K} \ \ \ \ \ j=0,1,...,K-1 \end{aligned} \]

 

که به سادگی، همان تبدیل فوریه گسسته است. بنابراین، پاسخ فرکانسی برای یک سیستم خطی تغییرناپذیر با شیفت زمان-گسسته به شدت به تبدیل فوریه گسسته نزدیک است، که با راندمان محاسباتی بالایی توسط الگوریتم تبدیل فوریه سریع یا FFT که در پردازش سیگنال خیلی رایج است، قابل محاسبه است. 

 

 

 

 

 

منبع: https://cyclostationary.blog