مقایسه تبدیل فوریه و تبدیل موجک (ویولت)

 

مقایسه تبدیل فوریه و تبدیل موجک (ویولت)

 

 

تبدیل فوریه به عنوان یکی از سنگ بناهای پردازش سیگنال، تحولی عظیم در تحلیل سیگنالها در حوزه زمان و فرکانس ایجاد کرده است. هر چند که، همچون هر ابزاری، با مجموعه محدودیت‌های خودش همراه است. علاوه بر عدم توانایی در بررسی پیوستگی، تبدیل فوریه از قدرت تفکیک‌پذیری (resolution) ثابت، موقعیت‌یابی (localization) زمان-فرکانس ضعیف و توانایی ایجاد تعادل نسبی محدود بین تفکیک‌پذیری در حوزه زمان و فرکانس رنج میبرد. این محدودیتها میتوانند مانع اثرگذاری این روش در تحلیل سیگنالهای با رفتار غیرایستان (non-stationary) یا گذرا (transient) شوند. در این مقاله مقایسه‌ای بین تبدیل فوریه و تبدیل موجک (wavelet) انجام میشود و نشان میدهیم که تبدیل موجک چگونه بر این محدودیتها غلبه میکند.

در ابتدا به بررسی هر دو تبدیل به صورت خلاصه و مجزا میپردازیم و سپس محدودیتهای تبدیل فوریه و نحوه غلبه تبدیل ویولت بر آنها بررسی میشود. در پایان نیز به برخی کاربردهای تبدیل موجک اشاره شده و یکی از آنها با جزییات بیشتر ارائه میشود.

 

 

تبدیل فوریه چیست؟

 

یکی از ایده‌هایی که در تمامی علوم، ریاضی و مهندسی خواهید یافت، تبدیل فوریه یا FT‌ است. FT یک تابع را به موجهای سینوسی و کسینوسی ساده تجزیه میکند. در تئوری، هر تابع میتواند به این شکل نمایش داده شود، یعنی به صورت جمع (شاید نامحدود) ‌از توابع سینوسی و کسینوسی با دامنه و فرکانسهای مختلف.

یک مثال خیلی ساده را در ادامه مرور میکنیم. در شکل زیر، سیگنال بالایی در حوزه زمان بوسیله تبدیل فوریه به شکل پایینی تبدیل شده است که حوزه فرکانس این سیگنال را نشان میدهد. به عبارت دیگر، محور x از زمان به فرکانس تبدیل شده است. نحوه تفسیر قله‌ها در شکل حوزه فرکانس، به این طریق است که سیگنال اصلی به صورت جمع دو موج سینوسی ساده به ترتیب با فرکانسهای یک و دو هرتز نمایش داده میشود.

 

شکل ۱- بالا – سری زمانی حوزه زمان، پایین – سیگنال تبدیل شده به فضای فوریه

 

 

تبدیل موجک چیست؟

 

یک عیب اصلی تبدیل فوریه این است که اطلاعات را به صورت کلی در حوزه فرکانس ثبت میکند،‌ یعنی فرکانسهایی که در طول کل سیگنال حضور دارند. این روش تجزیه سیگنال ممکن است برای همه کاربردها مناسب نباشد، مثلا الکتروانسفالوگرافی یا ECG، که سیگنال آن حاوی نوسانهای مرتبط با ویژگیهای بیماری به صورت بازه‌های زمانی کوتاه است. یک روش جایگزین، تبدیل موجک است که یک تابع را به مجموعه‌ای از موجکها تجزیه میکند.

 

 

موجک (wavelet) چیست؟

 

یک موجک، نوسانی شبیه موج است که در زمان، موقعیت‌یابی شده است. به عنوان مثال، در شکل زیر، موجکها دارای دو ویژگی اصلی هستند:‌ مقیاس و موقعیت. مقیاس (یا dilation) نحوه گسترده شدن یک موجک را تعریف میکند. این ویژگی به فرکانس موجها مربوط میشود. موقعیت، محلی که موجک در زمان در آن قرار گرفته است را مشخص میکند.

 

شکل ۲- موجک حاصل از مشتق ال تابع گوسین

 

در شکل بالا، پارامتر a،‌ میزان مقیاس موجک را تعیین میکند. اگر آن را کاهش دهیم، موجک فشرده‌تر میشود. این کار باعث میشود که موجک بتواند اطلاعات با فرکانس بالاتر را رصد کند. برعکس، با افزایش مقدار a، موجک پهن‌تر شده و اطلاعات با فرکانس پایین را بدست می‌آورد.

 

شکل ۳- اثر مقیاس در شکل موجک

 

پارامتر b، موقعیت موجک را تعریف میکند. کاهش b،‌ موجک را به سمت چپ منتقل میکند. افزایش b، آن را به سمت راست میبرد. موقعیت از این لحاظ مهم است که برخلاف سیگنالها و امواج به طور عام، موجکها تنها در یک بازه کوتاه غیرصفر هستند. به علاوه، در تحلیل یک سیگنال ما نه تنها به نوسانهای آن علاقمند هستیم بلکه به مکان وقوع این نوسانها نیز توجه داریم.

 

شکل ۴- اثر موقعیت در شکل موجک

 

 

تبدیل موجک چگونه کار میکند؟

 

ایده اصلی، محاسبه میزان حضور یک موجک با مقیاس و موقعیت مکانی خاص در سیگنال است. برای افراد آشنا با کانولوشن (convolution)، این مساله دقیقا همان ایده کانولوشن است. یک سیگنال با مجموعه‌ای از موجکها با مقیاسهای مختلف کانوالو (convolve) میشود. به عبارت دیگر، یک موجک با مقیاس مشخصی انتخاب میشود (همان موجک آبی رنگ زیر). سپس، این موجک در سرتاسر سیگنال میلغزد ( مکان آن تغییر میکند)، که در هر گام زمانی، این موجک در سیگنال ضرب میشود. این حاصلضرب به ما ضریب موجک برای مقیاس مورد نظر را در آن گام زمانی میدهد. سپس مقیاس موجک را افزایش داده (موجکهای قرمز و سبز) و فرآیند تکرار میشود.

 

شکل ۵- مفهوم مقیاس و مکان در محاسبه ضرایب موجک

 

 

محدودیتهای تبدیل فوریه

 

 

عدم توانایی بررسی پیوستگی

 

یکی از مهمترین معایب تبدیل فوریه، عدم توانایی آن در بررسی پیوستگی یک سیگنال است. تبدیل فوریه با سیگنال به شکل یکپارچه رفتار میکند و اطلاعاتی درباره تغییرات محلی یا ناپیوستگی‌های درون سیگنال فراهم نمیکند. این محدودیت در برخی کاربردهایی که تشخیص ناپیوستگی‌ها یا تغییرات ناگهانی سیگنال ضروری است، همچون پردازش صوت، تصویربرداری پزشکی و تشخیص عیوب میتواند مشکل‌ساز باشد.

 

 

رزولوشن ثابت

 

تبدیل فوریه، اطلاعات فرکانسی با قدرت تفکیک ثابت را در سرتاسر سیگنال بدست می‌آورد. این بدان معنی است که این روش نمیتواند تغییرات مکانی-فرکانسی را به خوبی ثبت کند، به خصوص در سیگنالهای با رفتار غیرایستان و گذرا.

 

 

موقعیت‌یابی زمان-فرکانس ضعیف

 

تحلیل فوریه نمیتواند موقعیت‌یابی در حوزه زمان و فرکانس را به طور همزمان انجام دهد. اگرچه میتواند محتوای فرکانسی را به طور دقیق در طول زمان نمایش دهد ولی نمیتواند رخ دادن فرکانسهای خاص را به طور دقیق مشخص کند.

 

 

ایجاد تعادل بین تفکیک‌پذیری زمانی و فرکانسی به طور محدود

 

تعادل بین تفکیک‌پذیری زمان و فرکانس در تبدیل فوریه ثابت است. افزایش قدرت تفکیک زمانی باعث کاهش قدرت تفکیک فرکانسی میشود و بالعکس، که باعث میشود توانایی تحلیل سیگنالهای با محتوای فرکانسی متغیر با زمان توسط آن محدود شود.

شکل زیر مفاهیم بالا را در مورد تبدیل فوریه نشان میدهد:

 

شکل ۶- عدم تفکیک مناسب فرکانسی در سیگنالهای با تغییرات فرکانسی بالا توسط تبدیل فوریه

 

سیگنال چهچه (chirp)، سیگنالی با فرکانس افزایشی در طول زمان است. در شکل بالا، اولین پنجره سیگنال چهچه را در کنار تبدیل فوریه آن (FFT) نشان میدهد. پنجره دوم، معکوس سیگنال چهچه و تبدیل فوریه FFT آن را نمایش میدهد. هر دو تبدیل فوریه یکسان هستند، در حالیکه سیگنالهای در حوزه زمان معکوس یکدیگر هستند.

 

غلبه بر محدودیتهای بالا توسط تبدیل موجک

 

برخلاف تبدیل فوریه که سیگنال را به اجزاء سینوسی با فرکانسهای مختلف تجزیه میکند، تبدیل موجک سیگنال را به اجزاء موقعیت‌یابی شده و گذرا تحت عنوان موجکها تجزیه میکند.

 

 

تحلیل شاخصهای موقعیت‌یابی شده

 

تبدیل موجک در تحلیل شاخصهای موقعیت‌یابی شده و ثبت ناپیوستگی‌های یک سیگنال بسیار عالی عمل میکند. با استفاده از مقیاسهای مختلف و مکانهای متفاوت در طول سیگنال، تبدیل موجک میتواند تغییرات ناگهانی، لبه‌ها و سایر تغییرات محلی درون یک سیگنال را تشخیص و توصیف کند.

 

رزولوشن و قدرت تفکیک متغیر

 

تبدیل موجک در هر دو حوزه زمان و فرکانس میتواند قدرت تفکیک متغیر فراهم کند. این تبدیل با استفاده از توابع موجک که به نوعی توابع موقعیت‌یابی شده هستند میتواند ویژگی‌های گذرا را ثبت کند و آنها را در زمان و فرکانس مشخص، موقعیت‌یابی کند.

 

موقعیت‌یابی زمان-فرکانس بهبود یافته

 

تبدیل موجک نسبت به تبدیل فوریه موقعیت‌یابی و مکان‌یابی بهتری در طول زمان و فرکانس ارائه میکند. این تبدیل رفتار سیگنال به لحاظ گذرا بودن و نوسانی بودن را به خوبی درک کرده و با دقت بالا ثبت میکند که آن را برای تحلیل سیگنالهای غیرایستان مناسب میسازد.

 

تحلیل چند-تفکیکی یا multiresolution

 

تبدیل موجک اجازه تحلیل در چند سطح تفکیک‌پذیری مختلف را میدهد. این بدان معنی است که این تبدیل میتواند سیگنالها را در مقیاسها یا سطوح تفکیک‌پذیری مختلفی تحلیل کند. این توانایی منجر به امکان تشخیص شاخصها در سطوح مختلف به لحاظ جزییات سیگنال میشود که آن را به عنوان ابزاری مناسب برای فعالیتهایی همچون رفع نویز، استخراج شاخص و فشرده‌سازی تبدیل میکند.

 

چرا از موجک استفاده کنیم؟

 

برخی مزایای تبدیل موجک عبارت است از:

 

– تبدیل موجک میتواند اطلاعات مربوط به مکان و طیف فرکانسی را به طور همزمان استخراج کند.

– موجکهای متعددی برای انتخاب جهت تحلیلهای مختلف وجود دارد.

 

اولین مورد بارها به آن اشاره شده است زیرا مهمترین دلیل استفاده از تبدیل موجک است. این روش نسبت به تبدیل فوریه زمان-کوتاه (short time FT) که نیاز به قطعه‌بندی سیگنال به بخشهای مجزا و اعمال تبدیل فوریه به هر بخش دارد، ارجح است.

مزیت مهم دوم، بیشتر یک گزینه فنی با جزییات به نظر میرسد. در نهایت، نکته مهم در اینجا عبارت است از:‌ اگر شکل خصوصیات مورد نظر برای استخراج از سیگنال را از قبل میدانید، باید توجه داشته باشید که گستره وسیعی از موجکها وجود دارند که میتوانید بهترین آنها را با توجه به شکل مورد نیاز برای استخراج، انتخاب کنید. برخی از این موجکها در شکل زیر آمده است:

 

شکل ۷- شکل موجکهای مختلف

 

 

کاربردهای تبدیل موجک

 

 

رفع نویز سیگنال و فشرده‌سازی

 

تبدیل موجک به طور گسترده در کاربردهای حذف نویز سیگنال و فشرده‌سازی مورد استفاده قرار میگیرد. توانایی این روش در ثبت شاخصهای محلی به آن اجازه میدهد که الگوریتمهای فشرده‌سازی و حذف نویز را نسبت به روشهای مبتنی بر تبدیل فوریه که ممکن است جزییات محلی را دچار محوشدگی یا اعوجاج کنند، به طور موثرتر و با راندمان بالاتر انجام دهد.

 

 

پردازش تصویر و تصویربرداری پزشکی

 

در کاربردهای مربوط به پردازش تصویر و تصویربرداری پزشکی، تبدیل موجک برای تشخیص لبه‌ها، شاخصها و موارد غیرعادی در تصاویر و سیگنالها بسیار با ارزش است. توانایی این روش در تحلیل تغییرات محلی، آن را به طور ویژه برای کارهایی همچون ارتقا کیفی تصویر، استخراج شاخص و تشخیص بیماری مناسب میسازد.

 

 

کاربرد تبدیل موجک در تشخیص موجهای قله R در سیگنال الکتروکاردیوگرام یا ECG

 

در این مثال، یک نوع تبدیل موجک گسسته برای کمک به تشخیص قله‌های R از یک سیگنال ECG که فعالیت قلب را اندازه‌گیری میکند، استفاده شده است. قله‌های R معمولا بالاترین قله یا ماکزیمم محلی در یک سیگنال ECG‌ هستند. آنها بخشی از مجموعه QRS‌ که نوعی ویژگی نوسانی قلب مرتبط با انقباض و انبساط بطنی عروق آن است، هستند. تشخیص قله‌های R در محاسبه نرخ ضربان قلب و تغییرپذیری آن (HRV) مفید است.

 

شکل ۸- مجموعه QRS

 

در واقعیت، به ندرت سیگنال ECG‌ که به تمیزی شکل بالا باشد، خواهیم داشت. همانطور که در این مثال خواهیم دید، داده ECG معمولا نویزی است. برای تشخیص قله R، الگوریتمهای ساده تشخیص قله یا پیک سیگنال در مواجهه با داده خام دچار مشکل میشوند. تبدیل موجک میتواند به تغییر سیگنال به شکلی که آن را برای تابع قله‌یاب بسیار ساده‌تر میکند، کمک شایانی کند.

در اینجا از تبدیل موجک با بیشترین همپوشانی یا MODWT برای استخراج قله‌های R از شکل موج ECG استفاده شده است. تابع موجک سیملت (symlet) با گشتاورهای ۴گانه (sym4) در ۷ مقیاس مختلف به کار گرفته شده است. در شکل زیر، سیگنال ECG‌ اصلی به همراه ضرایب تبدیل موجک آن برای هر مقیاس در طول زمان رسم شده است.

 

شکل ۹- سیگنال ECG‌ و ضرایب موجک در ۷ مقیاس مختلف

 

مقیاسهای کوچک (همچون و ) مربوط به فرکانسهای بالا است و بنابراین به طور غالب شامل نویز در این مثال میشود. هر چه در مقیاسها بالاتر میرویم، مواردی از درون نویز ظاهر میشوند که مربوط به قله‌های R‌ است (مثلا و ) که مرتبط با اطلاعات با فرکانس پایین است.

سپس ما میتوانیم سیگنال اصلی را با استفاده از اطلاعات بدست آمده از یک زیر مجموعه از مقایسهای موجک بازسازی کنیم. در اینجا فقط اطلاعات یک مقیاس، ، نگه داشته میشود. سیگنال اصلی و نسخه بازسازی شده آن در شکل زیر نشان داده شده است. نقاط ماکزیمم محلی یا همان قله‌ها در ECG‌ بازسازی شده (بخش پایینی شکل) به خوبی با قله‌های R‌ تراز شده است. به علاوه، با اعمال یک قله‌یاب (peak finder) به سیگنال بازسازی شده، نتیجه کار برای ECG‌ بازسازی شده بسیار مناسب‌تر از سیگنال ECG‌ اصلی خواهد بود.

 

شکل ۱۰- سیگنال اصلی ECG (بالا) و نمونه بازسازی شده توسط ضرایب موجک (پایین)

 

گام نهایی اعمال یک تابع قله‌یاب به سیگنال بازسازی شده است. این کار منجر به یافتن محل هر قله R به طور تقریبی در زمان میشود. برای ارزیابی عملکرد این کار، شکل قله‌های R بدست آمده بر روی سیگنال اصلی در زیر نشان داده شده است.

 

شکل ۱۱- نمایش نقاط قله R‌ بر روی سیگنال ECG اصلی

 

همانطور که ملاحظه میکنید، مزیت کلیدی تبدیل موجک در مقایسه با تبدیل فوریه، توانایی آن در استخراج اطلاعات طیفی و زمانی با هم است.

 

نتیجه‌گیری

 

اگرچه تبدیل فوریه به عنوان یک ابزار مهم و اصلی در پردازش سیگنال همواره حضور دارد، ولی محدودیتهای آن باید در نظر گرفته شود، به خصوص موارد مربوط به کار با سیگنالهای دارای شاخص ناپیوستگی و موقعیت‌یابی شده. تبدیل موجک به عنوان یک گزینه قدرتمند جایگزین مطرح میشود که اجازه تحلیل دقیقتر بر روی سیگنالهای با تغییرات ناگهانی را میدهد و دید خوب و مناسبی از ویژگی‌های محلی سیگنال را فراهم میکند. با اتکا به تواناییهای تبدیل موجک، میتوان بر محدودیتهای تبدیل فوریه فائق آمد و قابلیتهای جدیدی را در پردازش سیگنال، تحلیل داده و فراتر از آن در اختیار داشت.

 

 

 

 

منابع: https://sakhujasaiyam.medium.com   https://builtin.com/data-science