مثالهایی از محاسبه تبدیل لاپلاس

 

 

 

در این مقاله هدف انجام محاسبات تبدیل لاپلاس به صورت گام‌به‌گام است.

 

 

تعریف تبدیل لاپلاس

 

اگر f(t) یک تابع یکطرفه (One-sided) باشد، یعنی برای t<0 داریم: f(t)=0، آنگاه تبدیل لاپلاس تابع، F(s) به صورت انتگرال زیر تعریف میشود:

 

    \[ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \]

 

یا به طور دقیقتر، تعریف زیر را داریم که توابعی همچون تابع ضربه \delta(t) را هم شامل میشود:

 

    \[ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0^-}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \]

 

که در آن متغیر s میتواند مختلط (complex) باشد به طوریکه انتگرال مورد نظر همگرا باشد.

 

 

مثال 1- تبدیل لاپلاس تابع f(t)=1 را محاسبه کنید.

 

راه حل: با توجه به تعریف تبدیل لاپلاس، داریم:

 

    \[ F(s) = \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \]

 

در سرتاسر بازه [0,\infty] تابع f(t)=1 است و بنابراین، انتگرال بالا به شکل زیر ساده میشود:

 

    \[ \begin{aligned} F(s) = \int_{0}^{+\infty}e^{-st}dt \\ \\ = \lim_{T \to +\infty} \left[-\frac{1}{s}e^{-st} \right]_{0}^{T} \\ \\ = \lim_{T \to +\infty} -\frac{e^{-sT}-e^0}{s} \end{aligned} \]

 

اگر بخش حقیقی s، بزرگتر از صفر باشد، آنگاه \lim_{T \to +\infty}e^{-sT}=0 و بنابراین انتگرال تبدیل لاپلاس، همگرا میشود و F(s) برابر است با:

 

    \[ F(s) = \frac{1}{s} \]

 

 

مثال 2: تبدیل لاپلاس f(t) = e^{at} را محاسبه کنید.

 

 

راه‌حل:

 

با توجه به تعریف تبدیل لاپلاس، داریم:

 

    \[ \begin{aligned} F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st}dt = \int_{0}^{+\infty} e^{(a-s)t} dt \\ \\ = \lim_{\to +\infty} \left[\frac{1}{a-s}e^{(a-s)t} \right]_{0}^{T} \\ \\ =\lim_{T \to +\infty} \frac{e^{(a-s)T}-e^0}{a-s} \end{aligned} \]

 

اگر بخش حقیقی s بزرگتر از بخش حقیقی a باشد، \lim_{T \to +\infty} e^{(a-s)}T=0 میشود و بنابراین، انتگرال همگرا شده و تبدیل لاپلاس به شکل زیر بدست می‌آید:

 

    \[ F(s) = \frac{1}{s-a} \]

 

 

مثال 3: تبدیل لاپلاس f(t) = sin(\omega t) را محاسبه کنید.

 

 

راه حل:

 

با توجه به تعریف تبدیل لاپلاس، داریم:

 

    \[ F(s) = \int_{0}^{+\infty}sin(\omega t) e^{-st}dt \]

 

با نوشتن sin(\omega t) بر حسب نمایی‌های مختلط، به شکل زیر، داریم:

 

 

    \[ \begin{aligned} sin(\omega t) = \frac{e^{j \omega t}-e^{-j \omega t}}{2j} \\ \\ F(s) = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{j \omega t}-e^{-j \omega t}}{2j} e^{-st}dt \end{aligned} \]

 

با جداسازی عبارت زیر انتگرال و محاسبه هر انتگرال به صورت مستقل، میتوان نوشت:

 

    \[ \begin{aligned} F(s) = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{j \omega t}e^{-st}}{2j} dt - \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-j \omega t}e^{-st}}{2j} dt \\ \\ = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{(j \omega-s)t}}{2j} dt - \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-(j \omega+s) t}}{2j} dt \\ \\ = \lim_{\to +\infty} \left[\frac{1}{2j(j \omega -s)}e^{(j \omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{\to +\infty} \left[\frac{1}{-2j(j \omega +s)}e^{-(j \omega+s)t} \right]_{0}^{T} \\ \\ = \lim_{\to +\infty} \frac{e^{(j\omega -s)T}-e^0}{2j(j \omega -s)} - \lim_{\to +\infty} \frac{e^{-(j\omega +s)T}-e^0}{-2j(j \omega +s)} \end{aligned} \]

 

اگر بخش حقیقی s بزرگتر از صفر باشد، آنگاه \lim_{\to +\infty} \frac{e^{(j\omega -s)T}}{2j(j \omega -s)}=0 و \lim_{\to +\infty} \frac{e^{-(j\omega +s)T}}{-2j(j \omega +s)}=0 است و بنابراین انتگرال تبدیل لاپلاس، همگرا میشود و به عبارت زیر تبدیل میشود:

 

    \[ F(s) = -\frac{1}{1j(j\omega -s)}--\frac{1}{1j(j\omega +s)} \]

 

و با مخرج مشترک به عبارت ساده‌تر زیر دست می‌یابیم:

 

    \[ F(s) = \frac{\omega}{\omega^2+s^2} \]

 

 

مثال 4: تبدیل لاپلاس تابع f(t)=cosh(\omega t) را محاسبه کنید:

 

 

راه‌حل:

 

با توجه به تعریف تبدیل لاپلاس، داریم:

 

    \[ F(s) = \int_{0}^{+\infty}cosh(\omega t) e^{-st}dt \]

 

با نوشتن تابع cosh(\omega t) بر حسب نمایی‌های حقیقی، داریم:

 

    \[ \begin{aligned} cosh(\omega t) = \frac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} \\ \\ F(s) = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} e^{-st}dt \end{aligned} \]

 

با جداسازی عبارت زیر انتگرال و محاسبه هر انتگرال به صورت مستقل، میتوان نوشت:

 

    \[ \begin{aligned} F(s) = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{ \omega t}e^{-st}}{2} dt + \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{- \omega t}e^{-st}}{2} dt \\ \\ = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{( \omega-s)t}}{2} dt - \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-( \omega+s) t}}{2} dt \\ \\ = \lim_{\to +\infty} \left[\frac{1}{2( \omega -s)}e^{( \omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{\to +\infty} \left[\frac{1}{-2( \omega +s)}e^{-( \omega+s)t} \right]_{0}^{T} \\ \\ = \lim_{\to +\infty} \frac{e^{(\omega -s)T}-e^0}{2( \omega -s)} - \lim_{\to +\infty} \frac{e^{-(\omega +s)T}-e^0}{-2( \omega +s)} \end{aligned} \]

 

اگر بخش حقیقی s بزرگتر از \omega باشد، آنگاه \lim_{\to +\infty} e^{(\omega -s)T}=0  و  \lim_{\to +\infty} e^{-(\omega +s)T}=0 و بنابراین تبدیل لاپلاس به عبارت زیر همگرا میشود:

 

    \[ F(s) = \frac{-1}{2(\omega -s)}+\frac{-1}{-2(\omega +s)} \]

 

که به عبارت نهایی زیر ساده میشود:

 

    \[ F(s) = \frac{s}{s^2-\omega^2} \]

 

 

مثال 5- تبدیل لاپلاس دو تابع ضربه \delta(t) و \delta(t-a), a>0 را بیابید.

 

 

راه‌حل:

 

در ابتدا، لازم به یادآوری است که انتگرالهای شامل تابع ضربه، دارای خاصیت غربالی زیر هستند:

 

    \[ \int_A^B f(t)\delta(t-a)dt = \begin{cases} 1 & A<a<B \\ 0 & otherwise \end{cases} \]

 

برای محاسبه تبدیل لاپلاس تابع \delta(t)، نیاز به تعریف دقیق تبدیل لاپلاس با لحاظ کردن نقطه شروع صفر در انتگرال از طریق قرار دادن حد پایین به شکل زیر داریم:

 

    \[ \mathcal{L} \{ \delta(t) \} = \int_{0^-}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt \]

 

با شروع انتگرال‌گیری از مقدار 0^-، تابع ضربه به درستی لحاظ میشود و به نتیجه زیر میرسیم:

 

    \[ \mathcal{L} \{ \delta(t) \} = \int_{0^-}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1 \]

 

برای تابع \delta(t-a) نیز داریم:

 

    \[ \mathcal{L} \{ \delta(t-a) \} = \int_0^{+\infty} \delta(t-a) e^{-st} dt = e^{-as} \]

 

دقت کنید که در اینجا حد پایین 0 کافیست زیرا مقدار a مثبت است و تابع ضربه در سمت راست مبداء قرار دارد. 

 

 

مثال 6: تبدیل لاپلاس تابع f(t)=t را محاسبه کنید.

 

 

راه‌حل:

 

طبق تعریف تبدیل لاپلاس، میتوان نوشت:

 

    \[ \mathcal{L} \{ t \} = \int_0^{\+infty} t e^{-st} dt \]

 

این انتگرال به روش جزء به جزء (Integration by parts) به شکل زیر محاسبه میشود:

 

    \[ \begin{aligned} \int_0^{+\infty} te^{-st}dt = -t \frac{1}{s}e^{-st} \Big|_0^{+\infty} + \frac{1}{s} \int_0^{+\infty} e^{-st}dt \\ \\ = \frac{1}{s^2} \end{aligned} \]

 

 

مثال 7: تبدیل لاپلاس تابع f(t) = te^{-at} را بدست آورید.

 

 

راه‌حل:

 

با توجه به انتگرال تبدیل لاپلاس و روش جزء به جزء، میتوان نوشت:

 

    \[ \begin{aligned} F(s) = \int_0^{+\infty} te^{-at}e^{-st}dt = \int_0^{+\infty} te^{-(s+a)t}dt \\ \\ = -t\frac{1}{s+a}e^{-(s+a)t}\Big|_0^{+\infty} +\frac{1}{s+a} \int_0^{+\infty} e^{-(s+a)t}dt \\ \\ = \frac{1}{s+a} (-\frac{1}{s+a}e^{-(s+a)t}\Big|_0^{+\infty}) = \frac{1}{(s+a)^2} \end{aligned} \]

 

 

 

 

منبع: https://www.mathforengineers.com