مثالهایی از محاسبه تبدیل لاپلاس
در این مقاله هدف انجام محاسبات تبدیل لاپلاس به صورت گامبهگام است.
تعریف تبدیل لاپلاس
اگر یک تابع یکطرفه (One-sided) باشد، یعنی برای
داریم:
، آنگاه تبدیل لاپلاس تابع،
به صورت انتگرال زیر تعریف میشود:
یا به طور دقیقتر، تعریف زیر را داریم که توابعی همچون تابع ضربه را هم شامل میشود:
که در آن متغیر میتواند مختلط (complex) باشد به طوریکه انتگرال مورد نظر همگرا باشد.
مثال 1- تبدیل لاپلاس تابع را محاسبه کنید.
راه حل: با توجه به تعریف تبدیل لاپلاس، داریم:
در سرتاسر بازه تابع
است و بنابراین، انتگرال بالا به شکل زیر ساده میشود:
اگر بخش حقیقی ، بزرگتر از صفر باشد، آنگاه
و بنابراین انتگرال تبدیل لاپلاس، همگرا میشود و
برابر است با:
مثال 2: تبدیل لاپلاس را محاسبه کنید.
راهحل:
با توجه به تعریف تبدیل لاپلاس، داریم:
اگر بخش حقیقی بزرگتر از بخش حقیقی
باشد،
میشود و بنابراین، انتگرال همگرا شده و تبدیل لاپلاس به شکل زیر بدست میآید:
مثال 3: تبدیل لاپلاس را محاسبه کنید.
راه حل:
با توجه به تعریف تبدیل لاپلاس، داریم:
با نوشتن بر حسب نماییهای مختلط، به شکل زیر، داریم:
با جداسازی عبارت زیر انتگرال و محاسبه هر انتگرال به صورت مستقل، میتوان نوشت:
اگر بخش حقیقی بزرگتر از صفر باشد، آنگاه
و
است و بنابراین انتگرال تبدیل لاپلاس، همگرا میشود و به عبارت زیر تبدیل میشود:
و با مخرج مشترک به عبارت سادهتر زیر دست مییابیم:
مثال 4: تبدیل لاپلاس تابع را محاسبه کنید:
راهحل:
با توجه به تعریف تبدیل لاپلاس، داریم:
با نوشتن تابع بر حسب نماییهای حقیقی، داریم:
با جداسازی عبارت زیر انتگرال و محاسبه هر انتگرال به صورت مستقل، میتوان نوشت:
اگر بخش حقیقی بزرگتر از
باشد، آنگاه
و
و بنابراین تبدیل لاپلاس به عبارت زیر همگرا میشود:
که به عبارت نهایی زیر ساده میشود:
مثال 5- تبدیل لاپلاس دو تابع ضربه و
را بیابید.
راهحل:
در ابتدا، لازم به یادآوری است که انتگرالهای شامل تابع ضربه، دارای خاصیت غربالی زیر هستند:
برای محاسبه تبدیل لاپلاس تابع ، نیاز به تعریف دقیق تبدیل لاپلاس با لحاظ کردن نقطه شروع صفر در انتگرال از طریق قرار دادن حد پایین به شکل زیر داریم:
با شروع انتگرالگیری از مقدار ، تابع ضربه به درستی لحاظ میشود و به نتیجه زیر میرسیم:
برای تابع نیز داریم:
دقت کنید که در اینجا حد پایین کافیست زیرا مقدار
مثبت است و تابع ضربه در سمت راست مبداء قرار دارد.
مثال 6: تبدیل لاپلاس تابع را محاسبه کنید.
راهحل:
طبق تعریف تبدیل لاپلاس، میتوان نوشت:
این انتگرال به روش جزء به جزء (Integration by parts) به شکل زیر محاسبه میشود:
مثال 7: تبدیل لاپلاس تابع را بدست آورید.
راهحل:
با توجه به انتگرال تبدیل لاپلاس و روش جزء به جزء، میتوان نوشت:
دیدگاه ها (0)