ماهیت نمایی دایره واحد در اعداد مختلط

 

 

مقدمه

 

هدف این مقاله ارائه درک بهتر از معادله مشهور اویلر (Euler) است:

 

e^{i\theta}=cos(\theta)+i.sin(\theta)

 

این معادله اغلب از طریق بسط سری تیلور (Taylor series) برای یک تابع مشخص اثبات میشود، اما این رویکرد در راستای فهم درست معادله و رفتار اعداد مختلط موفق نخواهد بود. به جای آن، رویکرد شهودی اتخاذ میشود که در نهایت با ارائه ساختار گرافیکی برای فهم معادله به اوج میرسد.

 

 

اعداد مختلط

 

متغیر i نمادی برای جذر عدد منفی یک است. استفاده از این نماد یک قرارداد آمریکایی است و معادل اروپایی آن j است. یک عدد موهومی (imaginary)، حاصلضرب i در یک عدد حقیقی اسکالر است. عنوان موهومی به این دلیل که کمی گمراه‌کننده بوده و همواره مترادف با وجود نداشتن چیزی تصور شده، چندان خوش اقبال نبوده است. از دیدگاه علم ریاضی، مقدار i، برای بسته بودن عملیات جذر یا ریشه دوم، کافی است. اولین موردی که به وضوح نیاز به آن احساس میشود، مواقعی است که معادله درجه دوم باید به کار رود و حل شود.

یک عدد مختلط مجموع یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی است. صفحه اعداد مختلط، نمایشی از کل مجموعه اعداد مختلط در یک سیستم مختصات دکارتی است که در آن به طور سنتی، محور افقی جزء حقیقی عدد و محور عمودی جزء موهومی را نشان میدهد. عدد مختلط z=a+b.i که در آن a و b عدد حقیقی هستند، به صورت نقطه (a,b) در صفحه دکارتی نشان داده میشود. به این دلیل، جمع مختلط مشابه جمع برداری است و به همین ترتیب در مورد ضرب در عدد اسکالر اما برای ضرب دو عدد مختلط چنین تشابهی وجود ندارد و میتوان گفت که ضرب دو عدد مختلط مشابه ضرب داخلی بردارهای معادل آنها نیست.

 

 

دایره واحد

 

اندازه یک عدد مختلط، فاصله نقطه آن در صفحه دکارتی از مرکز صفحه است. به لطف تئوری فیثاغورث، محاسبه این اندازه کار ساده‌ای است:

 

\left | a+b.i \right |=\sqrt{a^2+b^2}

 

دایره واحد مجموعه اعداد مختلطی است که اندازه آنها برابر با یک است. در صفحه مختلط، آنها به صورت یک دایره با شعاع یک و به مرکز نقطه مرکزی صفحه دیده میشوند. این مجموعه شامل مقدار 1 در راست‌، مقدار i در بالا، مقدار 1- در چپ و مقدار -i در پایین میشود.

 

 

توانهای صحیح i

 

توانهای i یک الگوی مشخص میسازد که دید اولیه مناسبی به ماهیت نمایی دایره واحد میدهد.

 

\\i^0=1\\i^1=i\\i^2=-1\\i^3=i^2.i^1=-i\\i^4=i^2.i^2=-1.-1=1\\i^5=i^4.i^1=i\\i^6=-1\\i^7=-i\\i^8=1

 

الگوی -i,-1,i,1 دائم تکرار میشود. اگر این الگو بر روی دایره واحد نگاشت داده شود، یک مقیاس خطی روی محیط دایره تشکیل میدهد که هر قدم واحد بر روی این مقیاس، یک چهارم دور روی دایره است. این الگو در جهت منفی نیز چنین است.

 

\\i^-1=i^3/i^4=-i\\i^-2=i^2/i^4=-1\\i^-3=i^1/i^4=i\\i^-4=1/i^4=1\\

 

دقت کنید که مبداء مقیاس محیطی در 1 رخ میدهد که در صفحه مختلط، به آن یکه نیز میگویند.

 

 

برخی توانهای i به صورت عدد کسری

 

با به توان صحیح رساندن مقدار i، دایره واحد به تعداد ربع دورهای محیطی دایره واحد پیموده میشود. سوال بعدی که پیش می‌آید این است که آیا چنین الگوی تکراری در مورد توانهای کسری نیز وجود دارد. مقدار \sqrt{i} را در نظر بگیرید. فرض کنید که این مقدار به صورت a+b.i قابل بیان باشد.

 

\\(a+b.i)^2=i\\a^2+2ab.i+b^2.i^2=i\\(a^2-b^2)+(2ab).i=0+1.i

 

برای اینکه دو عدد مختلط برابر باشند، باید هر دو بخش حقیقی و موهومی آنها یکسان باشند.

 

\\a^2-b^2=0, 2ab=1\\a=\pm b, a=\frac{1}{2b}

 

با حل دستگاه برای مقادیر مجهول a,b و با فرض حقیقی بودن آنها دو مجموعه جواب داریم:

 

(a,b)=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})

 

هر دو نقطه بر روی دایره واحد هستند. اولی در میانه راه بین 1 و i است. دومی در سمت مخالف دایره است. نقطه اول دقیقا جایی است که انتظار داشتیم، نقطه وسط مقیاس محیط دایره. نقطه دوم با در نظر گرفتن معادله i=i^5 قابل درک خواهد بود.

 

(i^5)^{1/2}=i^{5/2}

 

5 نیمه در مقیاس محیطی دقیقا جایی است که راه حل دوم قرار دارد. نتیجه مشابهی برای i=i^{1+4.n} برقرار است. صرفنظر از مقدار n که چه عدد صحیحی باشد، نتیجه مقداری است که جواب را در یکی از نقاطی که قبلا یافت شده است، قرار میدهد.

 

مثال دیگری از توان کسری، یافتن ریشه سوم عدد یک است.

 

\\z^3=1\\z^3-1=0\\(z-1).(z^2+z+1)=0\\z-1=0,z^2+z+1=0

 

معادله اول نتیجه z=1 را میدهد. معادله دوم از طریق فرمول معادله درجه دوم قابل محاسبه است:

 

\\z=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.1.1}}{2.1}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}\\z=-\frac{1}{2}+i.\frac{\sqrt{3}}{2}, z=-\frac{1}{2}-i.\frac{\sqrt{3}}{2}

 

هر سه جواب بر روی دایره واحد قرار دارند. آنها به طور یکنواخت بر روی محیط دایره پخش شده‌اند و زمانیکه با خطوط مستقیم آنها را به هم وصل کنیم، حاصل یک دایره محاطی متساوی‌الاضلاع است. ریشه سوم عدد یک، از طریق روش نمایی و در راستای محیط دایره واحد که در بالا نشان داده شد، به شکل متفاوتی قابل محاسبه است.

 

\\1^{1/3}=(i^0)^{1/3}=i^0=1\\1^{1/3}=(i^4)^{1/3}=i^4/3\\1^{1/3}=(i^8)^{1/3}=i^8/3\\1^{1/3}=(i^12)^{1/3}=i^4=1\\

 

این الگو در هر دو جهت میتواند ادامه داشته باشد و مشابه مثال ریشه دوم عدد یک، جوابها همیشه بر روی مجموعه ثابتی از نقاط قرار میگیرند. این مجموعه از نقاط دقیقا مشابه همانهایی هستند که در راه حل دکارتی مشاهده شد.

 

\\i^{4/3}=-1/2+i.\sqrt{3}/2\\i^{8/3}=-1/2-i.\sqrt{3}/2\\

 

 

رفتار نمایی

 

اگرچه موضوع بالا برای چند توان کسری درست کار میکند، ولی نمیتوان آن را به همه مقادیر کسری تعمیم داد. به لحاظ ریاضی، این مساله چندان پیچیده نیست اما به نظر میرسد که وقتی i را به توان یک مقدار مشخصی از فاصله روی مقیاس محیطی دایره واحد تا آن نقطه میرسانیم، مقدار عدد مخلتط در آن نقطه بدست می‌آید. بنابراین هر نقطه روی دایره واحد از طریق به توان رساندن i به مقدار مناسب قابل دستیابی است. این توان یکتا نیست و هر جابه‌جایی به اندازه مضرب صحیحی از 4 مجدد به همان مقدار میرسد:

 

z=i^p=i^{p+4.n}

 

به همین دلیل است که دایره مختلط واحد به شکل نمایی قابل تصور است. علاوه بر این، اگر دو عدد مختلط بر روی دایره واحد در هم ضرب شوند، عدد حاصل در محل جمع مقیاس محیطی دو عدد بر روی دایره واحد قرار میگیرد:

 

z_1.z_2=i^{p_1}.i^{p_2}=i^{p_1+p_2}=z_3

 

نتیجه این موضوع آن است که هر مقیاس دلخواه قابل استفاده است. هر نقطه بر روی دایره واحد به صورت مقدار واحد مربوطه بر روی مقیاس محیطی میتواند تعریف شود. سپس، زمانیکه آن مقدار مختلط به توان 2 میرسد، در فاصله محیطی 2 واحد قرار میگیرد و اگر به توان 3 برسد در فاصله 3 واحد و به همین ترتیب برای توانهای بیشتر.

 

 

ریشه‌های واحد

 

زمانیکه نقطه‌ای در محلی به فاصله \frac{1}{N} محیط دایره واحد قرار میگیرد، مجموعه نقاطی که با توانهای صحیح آن تعریف میشوند، یک مجموعه ویژه تحت عنوان ریشه های واحد را تشکیل میدهند. هر مقدار در هر نقطه، زمانیکه به توان N برسد برابر با مقدار واحد میشود. زمانیکه N=2 است ریشه‌های دوم مقدار واحد را در اختیار داریم: 1 و 1-. برای N=3 اعدادی که قبلا محاسبه کردیم، حاصل میشوند. زمانیکه N=4 است، ریشه ها برابر با 1, i, -1, -i میشوند. این نتیجه از آنجا حاصل میشود که مقدار i به توان هر مقدار گویا برسد در واقع ریشه واحد است و اگر به توان غیرگویا برسد، هرگز نمیتواند ریشه واحد باشد.

 

 

مقیاس رادیان

 

یک حالت بسیار ویژه دیگر از مقیاس دلخواه، زمانی است که نقطه واحد روی یک رادیان تنظیم شود. در چنین حالتی، واحد فاصله‌ها در طول محیط دایره واحدی مشابه واحد فاصله‌ها در صفحه اعداد مختلط است و مقیاس توان اعداد با زاویه به رادیان تناظر خواهد داشت. فرض کنید که عدد در یک رادیان را u نامگذاری کنیم. مقدار دکارتی به سادگی قابل محاسبه است:

 

u = cos(1)+i.sin(1)

 

از آنجاییکه مقیاس توان با زاویه به رادیان متناظر است، معادله زیر نیز صحیح است:

 

u^\theta=cos(\theta)+i.sin(\theta)

 

سمت راست این معادله برابر با سمت راست معادله اویلر است. این عبارت، مقدار عدد مختلط بر روی دایره واحد با زوایه \theta را میدهد. سمت چپ معادله، محل نقطه تعریف شده روی دایره واحد بوسیله فاصله در راستای محیط دایره را میدهد.

با توجه به سمت چپ معادله اویلر داریم:

 

u^\theta = e^{i\theta}=(e^i)^\theta

 

این عبارت نشان میدهد که معنی واقعی معادله اویلر آن است که عملکرد این معادله به نوعی تبدیل فاصله یک نقطه در طول محیط دایره واحد به مقدار مختلط آن نقطه بر روی صفحه اعداد مختلط است.

 

 

نقطه در محل یک رادیان

 

با به توان رساندن هر دو طرف معادله قبل به مقدار 1/\theta ( یا اینکه \theta=1 قرار دهیم)، خواهیم داشت:

 

u=e^i

 

با فرض \theta=\pi/2 در معادله اویلر نتیجه زیر حاصل میشود:

 

u^{\pi/2}=i

 

از برابر قرار دادن دو معادله بالا خواهیم داشت:

 

e^i=i^{2/\pi}

 

آیا این نتیجه جالب نیست! یک عدد حقیقی به توان یک عدد موهومی برابر است با یک عدد موهومی به توان یک عدد حقیقی از طریق معادله‌ای که شامل سه مقدار ثابت اساسی ریاضیات است: e,i,\pi. البته فرم عمومی این معادله چندان زیبا به نظر نمی‌آید (m و n اعداد صحیح هستند):

 

e^{i.(1+2\pi.m)}=i^{(2/\pi+4n)}

 

تمام آن چیزی که معادله عمومی بالا انجام میدهد نمایش چندگانه یک نقطه برای اعداد مختلط است.

 

 

اثبات سنتی معادله اویلر

 

اثبات معادله اویلر به طور سنتی از طریق بسط سری تیلور برای تابع مورد نظر انجام میشود. این بسطها عبارت است از:

 

\\e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+...\\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+...\\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+...

 

تشابه میان این سه معادله کاملا واضح است. تابع کسینوسی یک تابع زوج است، به همین دلیل تمامی توانها در سمت راست زوج هستند. به همین شکل، تابع سینوسی یک تابع فرد است و تمامی توانهای معادله بسط تیلور آن اعداد فرد هستند.

اثبات کاملا سرراست است. کافی است در معادله اول، به جای x عبارت i\theta را قرار دهید:

 

\\e^{i\theta}=1+{i\theta}+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\frac{(i\theta)^6}{6!}+\frac{(i\theta)^7}{7!}

 

سپس، مقادیر i را از توانها فاکتور میگیریم و آنها را به ساده‌ترین شکل ممکن در می‌آوریم:

 

\\e^{i\theta}=1+i.\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i.\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i.\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^6}{6!}-i.\frac{\theta^7}{7!}

 

با جداسازی بخشهای حقیقی و موهومی داریم:

 

e^{i\theta}=\left [ 1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+... \right ]+i.\left [ \theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+... \right ]

 

در نهایت، توابع تعریف شده توسط سریهای تیلور را در معادله جایگزین میکنیم:

 

e^{i\theta}=cos(\theta)+i.sin(\theta)

 

اثبات به سادگی انجام شد. البته این اثبات هیچ نکته‌ای درباره رابطه بین معادله و دایره واحد مختلط نمیدهد اما این مزیت را دارد که نشان میدهد معادله برای تمامی مقادیر صحیح است.

 

 

تغییر مقیاس به مقیاس i

 

معادله اویلر بر اساس رادیان است. این معادله با برخی جایگزینی‌های ساده قابل تبدیل به مقیاس i است:

 

e^{i\theta}=(e^i)^\theta=(i^{2/\pi}0)^\theta=i^{\frac{2}{\pi}.\theta}

 

جایگزینی‌ زیر پیشنهاد میشود:

 

p = \frac{2}{\pi}.\theta

 

با حل برای \theta داریم:

 

\theta=\frac{\pi}{2}.p

 

با جایگزین کردن عبارتهای بالا در معادله اویلر، فرمول معادل بر پایه مقیاس i بدست می‌آید:

 

i^p=cos(\frac{\pi}{2}.p)+i.sin(\frac{\pi}{2}.p)

 

این فرمول، فرضی که قبلا ارائه شد مبنی بر اینکه مقیاس توان فاصله محیطی بر پایه i برای مقادیر کسری کار میکند را تایید میکند. از آنجا که \pi/2 یک زاویه قائم است، این موضوع را قطعی میکند که هر گام واحد در مقیاس توان، یک چهارم دور بر روی دایره واحد مختلط را نشان میدهد.

 

 

نتیجه‌گیری

 

معادله عالی و باشکوه اویلر فاصله در طول محیط دایره واحد مختلط را به مقدار مختلط معادل آن ربط میدهد. اینکه این رابطه اساسا یک رابطه نمایی است، چندان شهودی نیست. اینکه بدانیم دایره واحد مختلط، ذاتا به لحاظ رفتاری، نمایی عمل میکند و مقیاس رادیان، که توسط معادله اویلر به کار میرود، تنها یک مقیاس از موارد متعدد موجود است، معادله را بیشتر قابل فهم میکند. هر زمان که عبارت e^{i.x} ظاهر میشود، بدین معنی است که فرمول به نقطه‌ای در یک زمینه خاص، بر روی دایره واحد مختلط اشاره میکند. 

 

 

 

 

منبع: https://www.dsprelated.com