تابع پنجره – معیار شایستگی

 

 

تمرکز اصلی در این مقاله روی عملکرد تابع پنجره در صاف کردن نواحی کناری و لبه‌ای سیگنالهای مختلف است. برخی پارامترهای مهم آنها برای کمک به انتخاب تابع پنجره مناسب بر اساس کاربرد تحلیل میشوند.

 

 

نشت طیفی (spectral leakage)

 

همانطور که میدانیم، تبدیل فوریه گسسته یا DFT به شکل فرآیند پردازش سیگنال از طریق مجموعه‌ای از بانک فیلترها با پهنای باند \Delta f و به مرکزیت بازه فرکانس مطلوب قابل ترسیم است (شکل ۱). برای مشخص کردن دقیق جزء فرکانسی در هر بازه، مطلوب است که پهنای باند تفکیکی \Delta f تا حد ممکن کوچک باشد. در واقع، هر بانک فیلتر به صورت یک فیلتر با پاسخ ایده‌آل و پهنای باند باریک دیده میشود. اگر سیگنال تحت بررسی شامل چندین جزء طیفی و نویز باند پهن باشد، اندازه دامنه DFT خروجی در هر بازه ( بانک فیتلر ) که محاسبه میشود، به شدت تحت تاثیر نویز موجود در پهنای باند مورد نظر در آن بانک فیلتر خواهد بود.

 

شکل ۱- DFT (تبدیل فوریه گسسته) به صورت پردازش توسط یک مجموعه از بانکهای فیلتر

 

در عمل، سیگنالها ماهیت زمان-محدود (time-limited) دارند و چیزی فراتر از بازه زمانی محاسبه شده در آن، برای آنها قابل درک نیست. زمانی که بخشی از سیگنال زمان-محدود برای تحلیل توسط الگوریتم FFT (برای محاسبه سریع DFT) در نظر گرفته میشود، روش FFT به طور ذاتی فرض میکند که سیگنال لزوما خود را پس از بازه زمانی مشاهده شده، تکرار میکند. این قضیه منجر به ناپیوستگی‌هایی در لبه‌های هر بخش از سیگنال میشود که خود باعث نشت انرژی موجود در هر بازه فرکانسی به بازه‌های دیگر میشود. این پدیده، نشت طیفی نام دارد.

 

 

پهنای باند نویز معادل (Equivalent Noise Bandwidth)

 

برای حذف نشت طیفی، سیگنالها در یک تابع پنجره ضرب میشوند تا بدین وسیله، ناپیوستگی‌های موجود در لبه‌های هر بخش از FFT، صاف شوند. در نتیجه، انتخاب نوع تابع پنجره، بر روی میزان سیگنال و نویزی که وارد هر بانک فیلتر میشود، تاثیر میگذارد. بنابراین، میزان نویزی که در هر بانک فیلتر جمع میشوند نیز متاثر از پهنای باند تابع پنجره انتخاب شده است. در واقع، اندازه دامنه تخمینی در هر بازه فرکانسی، بوسیله میزان نویز جمع شده ناشی از تابع پنجره منتخب، تحت تاثیر قرار میگیرد. به عبارت دیگر، سطح نویز مشاهده شده در خروجی FFT، بر اساس نوع تابع پنجره مورد استفاده تغییر میکند.

پهنای باند نویز معادل یا ENBW، که اغلب بر حسب بازه‌های FFT مشخص میشود، پهنای باند یک فیلتر ایده‌آل فرضی است که میزان قدرت نویز جمع شده درون آن، معادل یا برابر با قدرت نویز جمع شده در شرایطی است که نویز سفید در حال عبور از پنجره منتخب باشد.

 

شکل ۲- نمایش پهنای باند نویز معادل (ENBW)

 

در حوزه گسسته، پهنای باند نویز معادل B_{enbw} میتواند با استفاده از نمونه‌های حوزه زمان به شکل زیر محاسبه شود:

 

    \[ B_{enbw} = L \frac{\sum_{n} {|w[n]|}^2}{{|\sum_{n} w[n]|}^2}} \]

 

که L طول پنجره است.

اگر از یک پنجره غیر مستطیلی استفاده شود، ENBW یک معیار رایج برای تعیین میزان تغییرات در سطح نویز دیده شده در سیگنال است. اگر سطح نویز بدست آمده مناسب باشد، فاکتور تصحیح ENBW باید اعمال شود تا تغییرات در سطح نویز را تصحیح کند. جدول ۱، ENBW و فاکتور تصحیح معادل را برای برخی توابع پنجره نشان میدهد.

شکل زیر نیز پهنای باند نویز معادل را برای پنجره Hann نشان میدهد:

 

شکل ۳- پهنای باند نویز معادل (ENBW) برای پنجره Hann

 

 

بهره قدرت همدوس (coherent power gain)

 

در حوزه زمان، عبور یک سیگنال از تابع پنجره، اندازه دامنه سیگنال را در بخشهای مرزی آن کاهش میدهد (شکل ۴). این مساله باعث کاهش اندازه دامنه جزء طیفی هنگام استفاده از FFT برای ترسیم سیگنال در حوزه فرکانس میشود. این کاهش دامنه در جزء طیفی به شکل بهره قدرت همدوس بیان میشود (که در واقع یک افت در سطح سیگنال را باعث میشود). بنابراین، زمانی که FFT بر روی یک سیگنال عبور داده شده از پنجره اعمال میشود، برای جبران افت دامنه سیگنال، به سادگی میتوان بهره قدرت همدوس را به خروجی FFT اضافه کرد.

 

شکل ۴- عبور یک سیگنال سینوسی ۱۰ هرتز از یک تابع پنجره Hann با طول ۱۵۱ (فرکانس نمونه‌برداری Fs=160 Hz)

 

بهره قدرت همدوس یک پنجره w[n] با طول L به شکل زیر محاسبه میشود:

 

    \[ \text{Coherent power gain (dB)} = 20 \log_{10} ({\frac{\sum_n w[n]}{L}}) \]

 

شکل زیر، بهره قدرت همدوس (به عبارتی میزان کاهش در اندازه دامنه FFT‌ زمانی که سیگنال ورودی توسط یک پنجره پردازش میشود) را برای سیگنال سینوسی با فرکانس 10 هرتز که از تابع پنجره عبور کرده است، نشان میدهد. طول پنجره L=151 نقطه است و شبیه‌سازی بر اساس فاکتور بیش‌نمونه‌برداری (oversampling) برابر با 16 است (F_s=160 Hz). طول FFT برابر با N_{FFT}=2048 است.

 

شکل ۵- بهره قدرت همدوس – برای توابع پنجره مختلف

 

جدول شماره ۱ در پایین، مشخصات مربوط به توابع پنجره مختلف از جمله بهره قدرت همدوس را نشان میدهد.

 

جدول ۱- معیارهای شایستگی برای توابع پنجره مختلف

 

 

افت اسکالوپ (Scalloping loss)

 

همانطور که در بالا بحث شد، عمل FFT ( یا به طور معادل DFT) را میتوان به شکل پردازش سیگنال از طریق یک مجموعه از بانک فیلترها با پهنای باند \Delta به مرکزیت بازه فرکانسی مورد نظر، تصور کرد. قدرت تفکیک فرکانسی (\Delta) FFT وابسته به اندازه FFT (N_{FFT} و فرکانس نمونه‌برداری F_s است:

 

    \[ \Delta f=\frac{F_s}{N_{FFT}} \]

 

بنابراین، فرآیند FFT میتواند اندازه دامنه فرکانسهایی که مضربی از تفکیک فرکانسی \Delta f هستند را اندازه‌گیری کند. به این معنی که اگر فرکانس سیگنال مشاهده شده با یک بازه فرکانسی خاص مطابقت داشته باشد، اندازه دامنه سیگنال در آن بازه فرکانسی، حداکثر خواهد بود.

هر چند که، اگر فرکانس سیگنال بین دو بازه فرکانسی قرار گیرد، قدرت سیگنال بین دو بازه مجاور هم، پخش شده و به همین دلیل اندازه دامنه یا قدرت سیگنال نمایش داده شده، کاهش می‌یابد.

افت اسکالوپ، بدترین حالت در کاهش سطح سیگنال را محاسبه میکند که زمانی است که فرکانس سیگنال مشاهده شده دقیقا وسط دو بازه فرکانسی قرار میگیرد. افت اسکالوپ در بدترین حالت به شکل زیر محاسبه میشود:

 

    \[ \text{Scalloping loss} = \frac{\sum_n w[n] e^{-j \pi n/ N_{FFT}}}{\sum_n w[n]} \]

 

 

شکل ۶- افت اسکالوپ نمایش داده شده برای پردازش یک سیگنال از طریق دو پنجره Boxcar‌ و Bartlett

 

در عمل، افت اسکالوپ به نوع پنجره و رابطه بین فرکانسهای سیگنال و بازه‌های فرکانسی تبدیل فوریه، بستگی دارد. در جدول ۱، افت اسکالوپ برای پنجره‌های مختلف نمایش داده شده است.

 

 

لیست توابع پنجره

 

 

در ادامه فرمول توابع پنجره مهم و پرکاربرد به همراه شکل حوزه زمان و فرکانس آنها آمده است.

 

 

پنجره مستطیلی ( Rectangular) یا Boxcar

 

    \[ w[n]= \begin{cases} 1, & 0\le n \le L-1 \\ 2, & \text{otherwise} \end{cases} \begin \]

 

شکل ۷- پنجره مستطیلی با طول L=51

 

 

پنجره Barthann

 

    \[ w[n]=0.62-0.48|\frac{n}{L-1}-0.5|+0.38 \cos{(2 \pi |\frac{n}{L-1}-0.5|)}, \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

شکل ۸- پنجره Barthann‌ با طول L=51

 

 

پنجره Bartlett

 

    \[ w[n]=\frac{2}{L-1} (\frac{L-1}{2}-|n-\frac{L-1}{2}|), \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

شکل ۹- پنجره Bartlett با طول L=51

 

 

پنجره Blackman

 

    \[ w[n]=0.42-0.5 \cos{(2 \pi n/L)} + 0.08 \cos{(4 \pi n/L)}, \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

 

شکل ۱۰- پنجره Blackman با طول L=51

 

 

پنجره Blackman-Harris

 

    \[ w[n]=a_0 - a_1 \cos{(2 \pi n/L}+a_2 \cos{(4 \pi n/L}-a_3 \cos{(6 \pi n/L)}, \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

    \[ a_0=0.35875; \ \ \ a_1=0.48829; \ \ \ a_2=0.14128; \ \ \ a_3=0.01168 \]

 

شکل ۱۱- پنجره Blackman-Harris‌ با طول L=51

 

 

پنجره Bohman

 

    \[ w[n]=(1-|x|) \cos{(\pi |x|)}+ \frac{1}{x} \sin{(\pi |x|)}, \ \ \ -1 \le x\le 1 \]

 

شکل ۱۲- پنجره Bohman‌ با طول L=51

 

 

پنجره کسینوسی (Cosine)

 

    \[ w[n]=\sin{(\frac{\pi}{L} (n+0.5))}, \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

شکل ‍۱۳- پنجره کسینوسی با طول L=51

 

 

پنجره Flattop

 

    \[ w[n]=a_0 - a_1 \cos{(2 \pi n/L}+a_2 \cos{(4 \pi n/L}-a_3 \cos{(6 \pi n/L)}, \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

    \[ a_0=0.21557895; \ \ \ a_1=0.41663158; \ \ \ a_2=0.277263158; \ \ \ a_3=0.006947368 \]

 

شکل ۱۴- پنجره Flattop با طول L=51

 

 

پنجره Hamming

 

    \[ w[n]=0.54-0.46 \cos{(\frac{2 \pi n}{L-1})}, \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

شکل ۱۵- پنجره Hamming‌ با طول L=51

 

 

پنجره Hann

 

    \[ w[n]=0.5-0.5 \cos{(\frac{2 \pi n}{L-1})}, \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

شکل ۱۶- پنجره Hann‌ با طول L=51

 

 

پنجره Nuttal‌

 

    \[ w[n]=a_0 - a_1 \cos{(2 \pi n/L}+a_2 \cos{(4 \pi n/L}-a_3 \cos{(6 \pi n/L)}, \ \ \ 0 \le n \le L-1 \]

 

    \[ a_0=0.3635819; \ \ \ a_1=0.4891775; \ \ \ a_2=0.1365995; \ \ \ a_3=0.0106411 \]

 

شکل ۱۷- پنجره Nuttal‌ با طول L=51

 

 

پنجره Parzen

 

    \[ w[n]= \begin{cases} 1-6(\frac{|n|}{L/2})^2 +6(\frac{|n|}{L/2})^3, \ \ \ 0 \le |n| \le (L-1)/4 \\ \\ 2(1- \frac{|n|}{L/2})^3, \ \ \ (L-1)/4 < |n| \le(L-1)/2 \end{cases} \begin \]

 

شکل ۱۸- پنجره Parzen‌ با طول L=51

 

 

پنجره مثلثی (Triangular)

 

    \[ w[n]=1-\frac{|n|}{L/2}, \ \ \ n=-L/2, ....,-1,0,1,..., L/2 \]

 

شکل ۱۹- پنجره مثلثی با طول L=51

 

 

 

 

منبع: www.gaussianwaves.com