آشنایی با اعداد مختلط به صورت شهودی و تصویری

 

اعداد مختلط همیشه مفهومی سردرگم کننده داشته‌اند. بیشتر تعریف‌هایی که از اعداد مختلط بیان میشود در دو گروه کلی قرار میگیرد:

      – یک مفهوم ریاضی انتزاعی که با معادلات مشخصی کار خود را انجام میدهد.

      – ابزاری که در فیزیک پیشرفته مورد استفاده قرار میگیرد و تا زمان مواجهه با آن برای یادگیری باید صبر کرد.

 

به نظر نمی‌رسد که این دو گروه روشهای مناسبی برای تعریف اعداد مختلط به زبان ساده و قابل درک باشد. بنابراین در این مقاله هدف ارائه رویکردی مناسب برای تعریف اعداد مختلط با استفاده از ابزارهای آموزشی کارآمد است:

      – تمرکز بر روابط و نه فقط فرمولهای مکانیکی.

      – نگاه به اعداد مختلط از منظر توسعه و به روزرسانی دستگاه اعداد مثبت و صحیح به همان شکلی که اعداد صفر، دهدهی و منفی آن را توسعه دادند.

      – استفاده از نمودارهای مصور در کنار متن و فرمول برای درک بهتر.

 

و یک سلاح سری آموزشی: آموزش از طریق مقایسه. ما نسبت به اعداد مختلط رویکردی با نگاه به نیاکان آن، اعداد منفی، خواهیم داشت. جدول زیر راهنمای مناسبی است:

 

 

 

ممکن است مفهوم برخی موارد در جدول بالا خیلی واضح نباشد، ولی نگران نباشید. در ادامه بیشتر به آنها خواهیم پرداخت.

 

 

درک دقیق اعداد منفی

 

اعداد منفی چندان آسان نیستند اگر فرض کنید که یک ریاضیدان در صده 1700 میلادی هستید. شما اعداد 3 و 4 را دارید و میدانید که تفاضل 3 از 4 میشود 1. به همین سادگی. اما اگر برعکس باشد چه؟ دقیقا به چه معنی خواهد بود؟ چطور میتوان به فرض 4 گاو را از 3 گاو کم کرد؟ چطور میتوان کمتر از هیچ داشت؟

اعداد منفی پوچ و بی‌معنی به نظر می‌آمدند، چیزی که باعث تاریکتر و مبهم‌تر شدن اصول معادلات عددی میشد. امکان داشت که تا به امروز نیز اعداد منفی را غیرمنطقی و بلا استفاده بدانیم. اما چه اتفاقی افتاد؟ ما یک عدد تئوریک اختراع کردیم که خواص جالبی دارد. اعداد منفی قابل لمس یا نگهداری نیستند ولی روابطی را توضیح میدهند که به نوعی تخیل سودمند به حساب می‌آید.

به جای اینکه مثلا بگوییم من به تو 30 تا بدهکارم و از کلمات در کنار اعداد برای رساندن مفهوم استفاده کنیم میتوانیم بنویسیم 30- که نشان میدهد بدهکاریم. اگر 100 تا بدست آوریم و بدهی را صاف کنیم میتوان نوشت 70=100+30- که نشان میدهد موجودی از منفی به مثبت تغییر یافته و حالا تراز حساب مثبت است.

علامت مثبت و منفی به طور خودکار جهت حرکت را نشان میدهد. لازم نیست که برای هر تراکنش مالی جمله‌ای اضافه شود و آن را توضیح دهد. بدین طریق ریاضیات ساده‌تر و زیباتر شد. مهم نبود که اعداد منفی قابل لمس نیستند. همین که خواص مناسبی داشتند کافی بود که از آنها در محاسبات روزمره استفاده شود.

اما نباید چندان دچار خودبینی و غرور کاذب شد. اعداد منفی به نوعی یک تغییر بزرگ ذهنی بود. حتی اویلر، نابغه‌ای که عدد نپر یا e و خیلی چیزهای دیگر را کشف کرد نیز نتوانست اعداد منفی را همچون ما درک کند.

این موضوع که امروزه حتی بچه‌ها نیز توان درک ایده‌هایی را دارند که زمانی ریاضیدانان دوران کهن را سردرگم میکرد، حاکی از توانایی ذهنی بشر است.

 

 

ورود به اعداد مختلط

 

اعداد مختلط داستان مشابهی دارد. ما همواره میتوانیم معادله زیر را حل کنیم:

 

\large x^{2}=9

 

جواب 3 و 3- است. اما فرض کنید یک نفر یک علامت منفی به سمت راست معادله اضافه کند:

 

\large x^{2}=-9

 

این معادله بیشتر افراد را در مواجه با آن دچار بهت و تعجب میکند. شما میخواهید ریشه دوم عددی کمتر از صفر را محاسبه کنید؟ این بی‌معنی است. این موضوع دیوانه‌وار به نظر میرسد همانطور که زمانی اعداد منفی، صفر و غیرکسری ها چنین بودند. معنی درستی برای این معادله قابل تصور نیست.

اما چنین نیست. اعداد به اصلاح مختلط همچون سایر اعداد، نرمال و قابل قبول هستند. آنها ابزاری برای توصیف جهان به شمار میروند. همانطور که مفاهیم 1-, 0.3, 0 ایجاد شده‌اند، بیایید فرض کنیم که عددی وجود دارد که:

 

\large i^{2}=-1

 

همین! عددی به نام \large i را در خودش ضرب میکنید و جواب 1- میشود. حال چه اتفاقی می‌افتد؟

اول ممکن است کمی دچار سردرد شویم. اما با پیش‌فرض وجود ریاضیات ساده‌تر و زیباتر خواهد شد. روابط جدیدی ظهور میکنند که به سادگی قابل توصیف است.

ممکن است که  را باور نکنید همچون ریاضیدانان دنیای قدیم که به 1- اعتقادی نداشتند. مفاهیم جدید و چالشی برای مغز انسان معمولا به سادگی قابل هضم و درک نیستند حتی برای شخصی مثل اویلر. اما همانطور که اعداد منفی به ما نشان دادند، مفاهیم عجیب در عین حال میتوانند مفید نیز باشند.

عبارت “موهومی”  در اینجا چندان جالب نیست و به نوعی توهین به عبارت  به حساب می‌آید. عدد  همانقدر عادی و نرمال است که سایر اعداد اما چون عبارت موهومی خیلی استفاده شده است ما نیز از آن تبعیت میکنیم.

 

 

 درک مصور از اعداد منفی و مختلط

 

همانطور که در آخرین معادلات دیدیم، معادله x^{2}=9 در واقع به شکل زیر است:

 

1.x^{2}=9

 

1.x.x=9

 

چه تبدیلی از x زمانیکه دوبار صورت گیرد میتواند 1 را به 9 تبدیل کند؟

دو جواب 3 و 3- وجود دارد. در مورد 3- به اصطلاح گفته میشود که ضرب در 3 میکنیم و جهت را برعکس میکنیم که همان مفهوم عدد منفی را میرساند.

حال بیایید در مورد معادله x^{2}=-1  فکر کنیم که در واقع به شکل زیر است:

 

\large 1,x,x=-1

 

مجدد چه تبدیل از x زمانیکه دوبار اعمال شود 1 را به 1- تبدیل میکند؟

    – ما نمیتوانیم دوبار ضرب با یک عدد مثبت انجام دهیم زیرا جواب مثبت خواهد بود.

    – ما نمیتوانیم دوبار ضرب با یک عدد منفی انجام دهیم زیرا جواب مثبت خواهد بود.

 

اما اگر دوران دهیم چه میشود؟ به نظر دیوانگی است ولی اگر فرض کنیم که x به میزان 90 درجه بچرخد و سپس یک چرخش دیگر، به میزان 180 درجه چرخش داریم که همان حرکت به نقطه معکوس از 1 به 1- است.

 

شکل 1- چرخش از 1 به 1-

 

 

حال اگر چرخش در جهت معکوس را نیز فرض کنیم باز هم با دو بار چرخش 90 درجه از 1 به 1- میرسیم ولی این بار با ضرب در  -i.

 

شکل 2- چرخش مثبت و منفی

 

 

اگر ضرب در -i دو بار انجام شود، ضرب اول 1 را به i و ضرب دوم  -i را به 1- تبدیل میکند. بنابراین برای ریشه دوم 1- دو عدد وجود دارد:  i و -i .

این موضوع جالبی است ولی به چه معنی میتواند باشد؟

    – عدد i یک بُعد موهومی جدید برای اندازه‌گیری اعداد است.

    – i یا -i همان چیزی است که در اثر چرخش اعداد ایجاد میشود.

    – عمل ضرب در مقدار i معادل چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت است.

    –  عمل ضرب در مقدار -i  معادل چرخش 90 درجه در جهت عقربه‌های ساعت است.

    – دو چرخش در هر جهت به 1- میرسد که ما را به همان ابعاد مثبت و منفی اعداد برمیگرداند.

 

اعداد دوبُعدی هستند. درک این موضوع ممکن است سخت باشد همانطور که اعداد دهدهی یا تقسیم برای یک فرد اهل روم باستان دشوار بود. این مساله عجیب است و روش جدیدی برای تفکر ریاضی است.

سوالی که پرسیده شد این بود که چطور 1 را به 1- در دو مرحله تبدیل کنیم؟ و جواب چنین یافت شد که: آن را 90 درجه بچرخانیم. این روش نیز عجیب ولی موثر و مفید است و همچنین تفکر ریاضی نوینی را ارائه میکند. لازم به ذکر است که این تعبیر هندسی از اعداد مختلط تا دهه‌ها پس از کشف عدد i وجود نداشت.

خیلی مهم است که بدانیم در اعداد مختلط چرخش در جهت خلاف ساعتگرد مثبت تلقی میشود که البته به سادگی ممکن بود عکس این موضوع به صورت قرارداد در نظر گرفته شود.

 

 

 یافتن الگوها

 

بگذارید کمی بیشتر وارد جزییات شویم. زمانیکه ضرب در اعداد منفی را انجام میدهیم، الگوی زیر شکل میگیرد:

 

1,-1,1,-1,1,-1,....

 

از آنجاییکه -1 اندازه عدد را تغییر نمیدهد و فقط علامت آن را عوض میکند یک الگوی بازگشتی در جهت جلو و عقب شکل میگیرد. برای عدد فرضیx نیز چنین است:

 

x,-x,x,-x,x,-x,....

 

این ایده مفید است. مثلا اگر x معرف یک پدیده خوب یا بد باشد که بین خوب و بد در حال تغییر است میتوان برای به فرض پدیده 47ام پیش‌بینی کرد که اتفاق خوبی خواهد افتاد یا بد:

 

x(-1)^{47}=x(-1)=-x

 

که در اینجا -x به معنی اتفاق بد است. دقت کنید که اعداد منفی چگونه مسیر علامت یک عدد را دنبال میکنند.

حال اگر ضرب در عدد i به طور مستمر انجام شود چه اتفاقی خواهد افتاد؟

 

1,i,i^{2},i^{3},i^{4},i^{5},...

 

نتیجه بسیار جالب خواهد بود:

    1=1  است.

    i=i است که همچون بالا کار زیادی انجام نمی‌دهد.

    i^{2}=-1  است که این همان چیزی است که از i انتظار می‌رود.

    i^{3}=(i*i)*i=-1*i=-i  که نشان میدهد سه چرخش در جهت خلاف ساعتگرد معادل یک چرخش در جهت ساعتگرد است.

    i^{4}=(i*i)*(i*i)=-1*-1=1 که به معنی معادل بودن 4 چرخش با یک دایره کامل و برگشت به نقطه اول است.

   i^{5}=i^{4}*i=1*i=i  و این داستان ادامه دارد.

 

شکل 3- چرخش در اعداد مختلط

 

 

هر 4 چرخش معادل یک دور کامل است. به نظر ملموس می‌آید. حال بیایید به جای تمرکز بر اعداد موهومی به الگوی زیر توجه کنیم:

 

X,Y,-X,-Y,X,Y,-X,-Y,...

 

همچون اعداد منفی که تغییر جهت را مدلسازی میکنند، اعداد موهومی چیزی که بین دو بعدX-Y میچرخد را مدل میکنند.

 

 

  درک اعداد مختلط

 

نکته دیگری که باید ذکر شود آن است که آیا یک عدد میتواند هم حقیقی باشد و هم موهومی؟ چه کسی میگوید که حتما باید 90 درجه بچرخیم؟ اگر یک گام را در بُعد حقیقی نگه داریم و دیگری را در بُعد موهومی، شکلی مشابه زیر خواهیم داشت:

 

شکل 4- زاویه عدد مختلط

 

 

زمانیکه در طول محور حقیقی و موهومی به یک اندازه حرکت کنیم در زاویه 45 درجه قرار داریم (1+i). در حقیقت میتوانیم هر ترکیبی از اعداد حقیقی و موهومی را انتخاب کنیم و یک مثلث با آنها بسازیم. این مثلث زاویه چرخش را نشان میدهد. عبارت مختلط یک نام فانتزی برای اعدادی است که بخشهای حقیقی و موهومی دارند و به صورت a+bi نوشته میشوند که در آن:

    – a بخش حقیقی است

    –  b بخش موهومی است.

 

شکل 5 – عدد مختلط دلخواه

 

 

تا اینجا خیلی بد نیست اما یک سوال نهایی باقی میماند: تا چه اندازه اعداد مختلط بزرگ هستند؟ ما نمیتوانیم بخشهای حقیقی یا موهومی را به صورت جدا از هم اندازه‌گیری کنیم زیرا تصویر کلی را از دست میدهیم.

اجازه دهید یک گام به عقب برگردیم. اندازه یک عدد منفی مربوط به شمارش آن نمیشود بلکه فاصله آن از صفر است. به عبارت دیگر:

 

 of-x=\sqrt{(-x)^{2}=\left | x \right |}  Size

 

که روش دیگری برای یافتن مقدار مطلق عدد است. اما برای اعداد مختلط، چطور میتوان دو جزء مختلف را که با هم 90 درجه اختلاف زاویه دارند اندازه‌گیری کرد؟

 

 

قضیه فیثاغورث!

 

تئوری او همه جا ظاهر میشود، حتی در اعدادی که 2000 سال پس از اون اختراع شده‌اند. در اینجا یک مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته میشود و اندازه وتر مثلث فاصله از صفر است:

 

 

of a+bi=\sqrt{a^{2}+b^{2}}  Size

 

 

در حالیکه اندازه‌گیری در این حالت به سادگی اعداد منفی نیست، این روش کاربردهای خودش را دارد.

 

 

 

  یک مثال واقعی: چرخش

 

چیزهای زیادی در رابطه با ضرب اعداد مختلط میتوان گفت اما نکته‌ای که باید در ذهن داشته باشیم آن است که:

 

    – ضرب در یک عدد مختلط باعث چرخش به اندازه زاویه آن میشود.

 

فرض کنید در یک قایق هستیم که در جهت 3 واحد شرقی و 4 واحد شمالی حرکت میکنیم. میخواهیم جهت حرکت را 45 درجه خلاف ساعتگرد تغییر دهیم. جهت جدید چه خواهد بود؟

 

شکل 6- یافتن جهت با ضرب در عدد مختلط

 

 

ممکن است کسی بگوید با محاسبات سینوسی و کسینوسی و تانژانتی این کار را انجام میدهم. ولی خوب کار پرزحمتی خواهد بود. بیایید به سوال بیشتر دقت کنیم.

روش ساده‌تر: ما در جهت 3+4i هستیم ( در اینجا به زاویه این عدد کاری نداریم) و میخواهیم 45 درجه بچرخیم. خوب کافیست که عدد 1+i را در عدد قبلی ضرب کنیم.

 

شکل 7- استفاده از اعداد مختلط برای یافتن جهت حرکت جدید

 

 

ایده کار چنین است:

 جهت اصلی: 3+4i

چرخش در جهت خلاف ساعتگرد به اندازه 45 درجه: 1+i

 

 حاصلضرب دو عدد:

 

(3+4i)(1+i)=3+3i+4i+4i^{2}=-1+7i

 

بنابراین جهت جدید یک واحد در جهت غرب و 7 واحد در جهت شمال است.

راه حلی سریعی است که بدون استفاده از توابع مثلثاتی جواب نهایی را میدهد. تنها محاسبات جبری ساده استفاده شد.

این جواب حتی از نمونه زاویه‌ای آن که جهت حرکت 98.13 درجه را نشان میدهد بهتر است زیرا دقیقا با توجه به نواحی چهارگانه مختصات دکارتی میتوان جهت حرکت را رسم کرد.

اگرچه مثلثات بسیار عالی است ولی در برخی موارد محاسبات اعداد مختلط به سادگی ما را به جواب میرساند.

 

 

 

 

منبع: www.betterexplained.com