قضیه نمونه‌برداری (Sampling Theory) – نمونه‌برداری باند پایه

 

تئوری نمونه‌برداری نایکوئیست-شانون (Nyquist-Shannon)، پایه اصلی و بنیادی تمام آن چیزی است که روشهای پردازش سیگنال را بوجود آورده است. پردازش و تحلیل یک سیگنال در حوزه دیجیتال نسبت به حوزه آنالوگ مزایای زیادی دارد ( پایداری در مقابل تغییر دمای محیط، دقت بالا، قابلیت پیش‌بینی پارامترها، سادگی در طراحی و پیاده‌سازی و … ).

 

 

مبدلهای آنالوگ به دیجیتال

 

در حوزه آنالوگ، سیگنال در طول محور افقی و عمودی که به ترتیب زمان و اندازه دامنه آن را نشان میدهد، پیوسته است. فرآیند گسسته‌سازی (Discretization) سیگنال آنالوگ در دو حوزه زمان و سطوح اندازه دامنه آن، معادل دیجیتال سیگنال را بوجود می‌آورد. تبدیل حوزه آنالوگ به دیجیتال یک فرآیند 3 مرحله‌ای است:

 

  1- گسسته‌سازی در زمان یا نمونه‌برداری

  2- گسسته‌سازی در سطوح اندازه دامنه یا کوانتیزاسیون (Quantization)

  3- تبدیل نمونه‌های گسسته به نمونه‌های دیجیتال یا کدینگ (Coding).

 

شکل 1 – اجزاء مبدل دیجیتال به آنالوگ – ADC

 

طی عملیات نمونه‌برداری، در فاصله‌های زمانی منظم که همان نرخ نمونه‌بردای است، نمونه‌های سیگنال ورودی اندازه‌گیری و ثبت میشوند. بیایید یک سوال منطقی و مهم را مطرح کنیم. برای یک سیگنال واقعی، چطور باید نرخ نمونه‌برداری را برای نمایش صحیح سیگنال در حوزه دیجیتال انتخاب کنیم؟ آیا معیاری برای این انتخاب وجود دارد؟ آیا انحراف و اعوجاجی در سیگنال حاصل از تبدیل معکوس به حوزه آنالوگ نسبت به شکل اولیه آن وجود خواهد داشت؟

پاسخ: از تئوری نایکوئیست-شانون برای انتخاب نرخ نمونه‌برداری یا فرکانس نمونه‌برداری استفاده کنید.

 

 

تئوری یا قضیه نایکوئیست-شانون

” اگر تابع f(t{\color{Blue} }) فرکانسی بالاتر از W سیکل در ثانیه نداشته باشد، به طور کامل با استفاده از نمونه‌های آن که به صورت نقاط گسسته با فاصله 1/2W هستند، قابل تعیین است. “

تئوری نمونه‌برداری به طور کلی به دو گروه تقسیم میشود: 1- نمونه‌برداری باند پایه : به سیگنالهای باند پایه اعمال میشود ( اجزاء فرکانسی از صفر تا فرکانس بالایی مشخص) 2- نمونه‌برداری باند میانی: به سیگنالهایی اعمال میشود که اجزاء فرکانسی آنها از فرکانس مثلا F1 تا F2 گسترده شده است (F2>F1). به زبان ساده‌تر، تئوری نمونه‌برداری شانون-نایکوئیست برای باند پایه به شکل زیر قابل بیان است:

 

 

نمونه‌برداری باند پایه

 

به منظور بازیابی و بازسازی کامل یک سیگنال آنالوگ که به فرکانس بالایی F_{m} محدود است، سرعت نمونه‌برداری از آن باید برابر یا بزرگتر از دو برابر فرکانس حداکثر مورد نظر باشد: F_{s}\geqslant 2F_{m}

یک سیگنال موج سینوسی با فرکانس 10 هرتز را در حوزه آنالوگ تصور کنید. حداکثر فرکانس موجود در این سیگنال F_{m}=10Hz است. حال، برای برقراری شرط قضیه نمونه‌برداری که در بالا گفته شد، فرکانس نمونه‌برداری باید به صورت F_{s}\geqslant 20 Hz باشد. این بدین معنی است که فرکانس میتواند هر مقداری بیش از 20 هرتز را اختیار کند. هر چه سرعت نمونه‌برداری بیشتر باشد، دقت نمایش سیگنال در حوزه دیجیتال نیز بیشتر است. سرعت نمونه‌برداری بیشتر به تعداد نمونه‌های بیشتر منجر میشود که در نتیجه فضای ذخیره‌سازی و حافظه بیشتری را طلب میکند. در حوزه زمان، فرآیند نمونه‌برداری به صورت ضرب سیگنال با دنباله‌ای از پالسهای باریک (قطار پالس) در بازه‌های زمانی منظم، Ts ،قابل تصور است. در حوزه فرکانس، خروجی فرآیند نمونه‌برداری شامل فرکانسهای زیر میشود که دنباله‌ای نامتناهی از فرکانسها است.

 

 ….F_{m}.F_{s}\pm F_{m}.2F_{s}\pm F_{m}.3F_{s}\pm F_{m}.4F_{s}\pm F_{m}.

 

شکل 2- نمونه‌بردای باند پایه

 

مشاهده میشود که سیگنال نمونه‌برداری شده اجزاء فرکانسی ناخواسته و اضافی زیادی دارد. اگر بخواهیم این سیگنال زمان گسسته را به حوزه آنالوگ برگردانیم، تمام آن چیزی که لازم است انجام شود، حذف یا فیلتر کردن این اجزاء اضافی بوسیله فیلتر بازسازی است که در اینجا یک فیلتر پایین‌گذر خواهد بود. این فیلتر طوری طراحی میشود که تنها فرکانسهای کمتر از F_{m} را انتخاب کند. لازم به ذکر است که فرآیند بالا فقط بخش نمونه‌برداری را نشان میدهد که در آن نمونه‌های سیگنال آنالوگ ورودی در بازه‌های زمانی منظم ثبت میشوند. در سیستمهای واقعی، یک کوانتایزر (Quantizer) نیز به دنبال نمونه‌بردار قرار میگیرد که سطوح دامنه سیگنال نمونه‌برداری شده را به سطوح گسسته مشخصی نگاشت میدهد. سپس، این سطوح گسسته به یک کدکننده دیجیتال فرستاده میشوند که این سطوح را به اعداد باینری تبدیل میکند. به همین ترتیب، زمانیکه میخواهیم این مقادیر باینری را به سیگنال آنالوگ تبدیل کنیم، به یک مبدل دیجیتال به آنالوگ ( DAC ) احتیاج داریم که کل فرآیند قبلی را به صورت معکوس انجام میدهد. باید توجه داشت که سیگنال خروجی DAC نیز شامل برخی فرکانسهای ناخواسته و مزاحم است. به همین دلیل یک فیلتر بازسازی با فرکانس قطع مناسب نیز باید بعد از DAC قرار گیرد تا فقط اجزاء فرکانسی مطلوب را از خود عبور دهد.

 

 

اختلاط فرکانسی یا الیاسینگ (Aliasing)

 

سیگنال با دو جزء فرکانسی F_{1}=10Hz که سیگنال مطلوب است و F_{2}=20Hz که نویز است را در نظر بگیرید. بیایید فرض کنیم که این سیگنال با فرکانس 30 هرتز نمونه‌برداری شده است. اولین جزء فرکانسی 10 هرتز، فرکانسهای 10، 20، 40، 50، 70 و … را تولید میکند. دومین جز فرکانسی 20 هرتز، فرکانسهای 20، 10، 50، 40، 80 و … را تولید میکند.

 

شکل 3- اختلاط فرکانسی یا الیاسینگ

 

دقت کنید که جزء 20 هرتزی سیگنال اصلی خود یک سیگنال با فرکانس 10 هرتز تولید کرده است که با سیگنال اصلی 10 هرتزی تداخل ایجاد میکند. این بخش 10 هرتزی تولید شده همان نمونه مشابه (Alias) جزء اصلی 20 هرتزی نامیده میشود. به طور مشابه جزء 20 هرتزی تولید شده توسط بخش 10 هرتزی سیگنال اصلی نیز با بخش 20 هرتزی سیگنال اصلی تداخل میکند که همچون مورد قبلی قابل تمایز نیست. البته در این حالت چون تداخل با نویز ایجاد شده است چندان برای ما اهمیتی ندارد چرا که نویز در هر صورت باید حذف شود. اما باید در مورد جزء فرکانسی ایجاد شده توسط فرکانس 20 هرتزی سیگنال اصلی چاره‌ای اندیشید. این جزء فرکانسی در عمل بخش 10 هرتزی سیگنال اصلی را تخریب میکند. اختلاط فرکانسی به فرکانس نمونه‌برداری و رابطه آن با اجزاء فرکانسی سیگنال آنالوگ بستگی دارد. اگر سیگنال با فرکانس F_{s} نمونه‌بردای شود، تمام فرکانسهای بازه F_{s}/2 تا F_{s}، فرکانسهای مشابه یا الیاس فرکانسهای صفر تا F_{s}/2 خواهند بود و بالعکس. به همین دلیل فرکانس F_{s}/2 تحت عنوان فرکانس تاکننده (Folding Frequency) شناخته میشود زیرا فرکانسهای بالاتر از آن به مقدارهای کمتر از آن به صورت قرینه دچار تاشدگی و برگشت میشوند و در اثر این تاشدگی با اجزاء فرکانسی کمتر از F_{s}/2 تداخل ایجاد میکنند. در واقع نواحی تداخل فرکانسی در هر دو طرف فرکانسهای \frac{F_{s}}{2},3\frac{F_{s}}{2},5\frac{F_{s}}{2},7\frac{F_{s}}{2},... رخ میدهند. تمامی این فرکانسها، فرکانسهای تاکننده نام دارند که بازگشت فرکانسی را باعث میشوند. به طور مشابه، تداخل فرکانسی در هر دو سمت فرکانسهای F_{s},2F_{s},3F_{s},4_{F_{s}},... نیز رخ میدهد ولی این بار بدون بازگشت فرکانسی. شکل زیر مفهوم نواحی الیاسینگ را نشان میدهد:

 

شکل 4- فرکانسهای تاکننده در نواحی تداخل فرکانسی

 

در شکل بالا، ناحیه 2 تصویر آیینه ناحیه 1 بوسیله بازگشت فرکانسی است. به طور مشابه، ناحیه 2 فرکانسهای الیاس را در ناحیه 3 (بدون بازگشت فرکانسی) ایجاد میکند، ناحیه 3 تصویر آیینه را در ناحیه 4 بوسیله بازگشت فرکانسی تولید میکند و همین طور این فرآیند ادامه دارد. در مثال بالا، فرکانس تاکننده 15 هرتز است، بنابراین تمامی اجزاء فرکانسی از 15 تا 30 هرتز به نوعی اجزاء مشابه یا الیاس فرکانسهای 0 تا 15 هرتز هستند. زمانیکه اجزاء الیاسینگ وارد ناحیه فرکانسی مطلوب ما میشوند، تمایز بین آنها و اجزاء فرکانسی سیگنال اصلی ناممکن خواهد بود و در نتیجه محتوای اصلی سیگنال از بین میرود. برای جلوگیری از تداخل فرکانسی، لازم است که فرکانسهای بالاتر F_{s}/2 از  قبل از فرآیند نمونه‌برداری حذف شوند. این کار توسط فیلتری تحت عنوان فیلتر ضد الیاسینگ انجام میشود که پیش از مبدل آنالوگ به دیجیتال قرار میگیرد. یک فیلتر ضد الیاسینگ طوری طراحی میشود که تمام فرکانسهای بالاتر از فرکانس تاکننده F_{s}/2 را محدود ساخته و از ایجاد فرکانسهای مزاحم در خروجی ضرب‌کننده نمونه‌بردار جلوگیری کند.

 

شکل 5- طراحی کامل مبدل ADC و DAC

 

در نهایت، در طرح کامل مبدل آنالوگ به دیجیتال یک فیلتر ضد الیاسینگ نیز تعبیه میشود که درست قبل از ADC قرار میگیرد و در مبدل دیجیتال به آنالوگ، فیلتر بازسازی پس از DAC قرار میگیرد.

 

شکل 6- زنجیره ADC-DAC

 

نکته: به یاد داشته باشید که هر دو فیلتر گفته شده از نوع آنالوگ هستند و بر روی سیگنال آنالوگ عملیات فیلتر کردن را انجام میدهند. بنابراین ضروری است که نرخ نمونه‌برداری طوری انتخاب شود که مشخصات فیلترهای الیاسینگ و بازسازی در حوزه آنالوگ معقول و منطقی باشد.

 

 

اثرات نرخ نمونه‌برداری

 

سیگنال سینوسی با فرکانس F_{m}=2MHz را فرض کنید. اگر سیگنال با فرکانس F_{s}=8MHz نمونه برداری شود: میدانیم که F_{s}\geqslant 2F_{m} است و مقدار \frac{Fs}{Fm} ، فاکتور فرا نمونه‌برداری نامیده میشود. در اینجا سیگنال با فاکتور 4 فرا نمونه‌برداری میشود. فرکانس تاکننده برابر با 4 مگاهرتز است. فیلتر ضد الیاسینگ باید طوری طراحی شود که تمامی فرکانسهای بالاتر از 4 مگاهرتز را حذف کند. همانطور که میدانید در عمل، پاسخ فرکانسی ایده‌آل برای فیلترها امکانپذیر نیست. هر فیلتر یک ناحیه گذار بین ناحیه عبور و توقف دارد. معمولا فیلترهای با ناحیه گذار باریکتر (تغییر سریع از باند عبور به توقف و بالعکس) مطلوب هستند. اما مرتبه چنین فیلترهایی همیشه بالا خواهد بود. از آنجاییکه هر دو فیلتر الیاسینگ و بازسازی در مبدلها از نوع آنالوگ هستند، فیلترهای مرتبه بالا با ناحیه گذار باریک، گرانقیمت است (هزینه فیلتر آنالوگ متناسب با مرتبه آن بالا میرود). همچنین ساختار سیستم با بالا رفتن مرتبه فیلتر سنگین‌تر و کندتر میشود. بنابراین، برای ساختن یک سیستم ارزانتر، مشخصات فیلتر به لحاظ عرض ناحیه گذار باید کمی ساده‌تر باشد. این نیاز با افزایش سرعت نمونه‌برداری یا به طور معادل فاکتور فرا نمونه‌برداری برطرف میشود. زمانیکه نرخ نمونه‌برداری افزایش می‌یابد، فاصله بین حداکثر فرکانس موجود در سیگنال، F_{m} و فرکانس تاکننده F_{s}/2 زیاد میشود. این افزایش فاصله باعث میشود که نیاز به ناحیه گذار باریک در فیلتر چندان ضروری نباشد و بتوان از فیلترهای با ناحیه گذار بزرگتر نیز استفاده کرد. شکل زیر این مفهوم را نشان میدهد:

 

شکل 7- اثرات نرخ نمونه‌برداری

 

اگر از سرعت نمونه‌برداری 8 مگاهرتز استفاده شود، ناحیه گذار باید باریکتر باشد و این به معنی استفاده از فیلتر با مرتبه بالاتر است. حال اگر فرکانس نمونه‌برداری را تا 32 مگاهرتز افزایش دهیم، فاصله بین اجزاء فرکانسی مطلوب و فرکانس تاکننده بسیار بیشتر میشود که استفاده از فیلتر با ناحیه گذار بیشتر و ارزانتر را میسر میسازد.

بنابراین، افزایش سرعت نمونه‌برداری در ADC استفاده از فیلتر ضد الیاسینگ با مرتبه پایینتر و ساده‌تر را امکانپذیر میکند. هر چند که، افزایش نرخ نمونه‌برداری نیاز به تجهیزات سریعتر دارد که این خود باعث گرانتر شدن مبدل میشود. بنابراین لازم است که بین نرخ نمونه‌برداری و فیلترهای ضد الیاسینگ و بازسازی مناسب یک تعادل و توازن برقرار شود.

 

 

یک کاربرد مهم: افزاینده فرکانسی

 

در مثالهای بالا، فیلتر بازسازی یک فیلتر پایین‌گذر فرض شده بود که برای عبور فرکانسهای باند پایه پس از بازسازی سیگنال طراحی میشود. لازم به یادآوری است که هر فرکانس در ناحیه 1 شکل 4، در سایر نواحی نیز منعکس خواهد شد (با بازگشت فرکانسی در نواحی زوج و بدون بازگشت فرکانسی در نواحی فرد). بنابراین اگر فیلتر بازسازی را به صورت میان‌گذر طراحی کنیم و نواحی فرکانسی را در مکانهایی به غیر از ناحیه 1 انتخاب کنیم، به نوعی محتوای فرکانسی را به محدوده بالاتر برده‌ایم که این یک افزاینده فرکانسی خواهد بود. در هر سیستم مخابراتی، سیگنال دیجیتال که از پردازشگر دیجیتال بیرون می‌آید، نمیتواند به همان شکل ارسال شود.  این سیگنال (که در حوزه دیجیتال است) باید به شکل سیگنال آنالوگ در بیاید و سیگنال آنالوگ نیز باید به فرکانس مناسبی منتقل شود که این فرکانس به محیط انتشار سیگنال بستگی دارد. به طور مثال، در سیستم رادیویی یا RF، سیگنال باند پایه توسط یک ضرب‌کننده و اسیلاتور به فرکانس بالاتر منتقل میشود و سپس سیگنال فرکانس بالا در محیط منتشر میشود. اگر یک فیلتر میان‌گذر در خروجی مبدل DAC داشته باشیم، میتوانیم به طور مستقیم به فرآیند افزایش فرکانسی دست بیابیم (که نیاز به ضرب‌کننده و اسیلاتور را رفع میکند). شکل زیر این مفهوم را توضیح میدهد:

 

شکل 8- افزایش فرکانسی

 

 

 

 

منبع: www.gaussianwaves.com