درک مفهوم سری فوریه

 

 

تحلیل و سنتز فوریه

 

تحلیل فوریه عنوانی است که پس از جوزف فوریه، ریاضیدان فرانسوی نام گرفت، و فرآیندی است که یک تابع پیچیده را به صورت ترکیبی از توابع ساده‌تر تجزیه میکند. فرآیند معکوس ترکیب توابع ساده برای بازسازی تابع پیچیده تحت عنوان سنتز فوریه شناخته میشود.

اغلب توابع ساده به صورت توابع سینوسی و کسینوسی انتخاب میشوند. بنابراین، عبارت “تحلیل فوریه” یک تابع پیچیده را بر حسب عبارتهای سینوسی و کسینوسی بیان میکند و عبارت “سنتز فوریه” تابع پیچیده را از عبارتهای سینوسی و کسینوسی بازسازی میکند.

فرکانس، معیار اندازه‌گیری تکرارهای رخداد یک پدیده مشخص است. طبق تعریف، یک موج سینوسی منحنی صافی است که با یک فرکانس مشخص تکرار میشود. بنابراین، عبارت “فرکانس” و “سینوسی” تقریبا به یک معنی هستند. یک موج کسینوسی نیز موج سینوسی با اختلاف فاز 90 درجه است. به همین دلیل، زمانیکه درباره سینوس یا کسینوس صحبت میکنید، در واقع درباره فرکانس گفتگو میکنید. به همین دلیل است که در پردازش سیگنال، تحلیل فوریه در حوزه تحلیل فرکانس (طیف فرکانسی) به کار میرود. سری فوریه، تبدیل فوریه پیوسته، تبدیل فوریه گسسته و تبدیل فوریه زمان‌گسسته همگی انواع مختلف تحلیل فوریه هستند.

 

 

سری فوریه

 

این تکنیک بر روی توابع متناوب (پریودیک) اعمال میشود. در این روش، یک تابع متناوب تجزیه شده و بر حسب عبارتهای سینوسی و کسینوسی بیان میشود. در ریاضیات، عبارت “سری” مجموع دنباله‌ای از اعداد را نمایش میدهد. به طور مثال، ما میتوانیم سری از دنباله عددی به شکل زیر را تحت عنوان دنباله هندسی بسازیم

( نسبت ثابت بین اعداد متوالی برابر با 3 )

1+3+9+27+...

 

یک سری نامتناهی، سری است که تعداد اجزا تشکیل دهنده آن نامحدود است. اگر اجزا این سری نامتناهی نسبتی کمتر از 1 داشته باشند، این امکان وجود دارد که جمع آنها به مقدار مشخصی همگرا شود. سری فوریه در دسته‌بندی سری‌های نامتناهی مثلثاتی قرار میگیرد که هر جزء مشخص سری از طریق روابط مثلثاتی بیان میشود. نحوه ساخت سری فوریه به شکل زیر است:

 

f(x)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos(nx)+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}sin(nx)

 

در اینجا f(x) تابع متناوب مورد نظر برای تجزیه بر حسب عبارتهای به صورت توابع پایه سینوسی و کسینوسی است. ضرایب a_{0}, a_{1}, a_{2}, ... و b_{0}, b_{1}, b_{2}, ... به صورت زیر محاسبه میشوند:

 

a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx

 

a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx

 

b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx

 

 

تقارن در توابع

 

گاهی لازم است که توابع طبق خواص تقارن خود طبقه‌بندی شوند. با این کار در میزان زمان و انرژی صرف شده در محاسبات صرفه‌جویی میشود. به طور کلی توابع به لحاظ تقارن، در سه گروه فرد، زوج و بدون تقارن قرار میگیرند. تقارن با ترسیم شکل تابع روی یک کاغذ و تا کردن آن در طول محور y نیز قابل تشخیص است. همیشه این تقارن نسبت به محور y در نظر گرفته میشود.

 

 

تقارن زوج

 

شکل 1- تابعی با تقارن زوج

 

به صورت ریاضی در چنین تابعی داریم: f(x)=f(-x). مقدار تابع داده شده f(x) در مقدار مثبت x برابر با مقدار متناظر برای -x است. اگر در یک کاغذ شکل چنین تابعی را رسم کنیم و کاغذ را در طول محور y تا کنیم، نیمه سمت چپ و راست دقیقا یکسان خواهد بود و روی هم به صورت تصویر آیینه‌ای قرار میگیرند.

برای توابع با تقارن زوج، تنها عبارت کسینوسی در بسط سری فوریه وجود دارد. در اینجا ضرایب b_{n} کاملا از بین میروند (به عبارت دیگر پایه سینوسی در تابع وجود ندارد). این موضوع به مفهوم سری کسینوسی فوریه منجر میشود:

 

f(x)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos(nx)

 

 

تقارن فرد

 

به صورت ریاضی در تقارن فرد داریم: f(x)=-f(-x). مقدار تابع f(x) در یک مقدار x مثبت همان مقدار عددی با تغییر علامت در مقدار x منفی است. اگر شکل این تابع روی کاغذ رسم شود و مجدد در مسیر محور y کاغذ تا شود، نیمه سمت چپ به صورت معکوس نیمه سمت راست خواهد بود.

 

شکل 2- تابعی با تقارن فرد

 

 

برای توابع با تقارن فرد، تنها عبارت سینوسی در بسط سری فوریه وجود دارد. ضرایب a_{n} همگی صفر میشوند و به این ترتیب پایه کسینوسی نخواهیم داشت. این موضوع منجر به مفهوم سری سینوسی فوریه میشود:

 

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}sin(nx)

 

بنابراین، دانستن تقارن میتواند بخش قابل توجهی از بار محاسباتی و زمانی را کاهش دهد چرا که نیازی به محاسبه نیمی از ضرایب در صورت وجود تقارن، نخواهد بود.

 

جدول 1- سری فوریه برای انواع سیگنال از دید تقارن

 

 

مجموع جزئی و همگرایی سری فوریه

 

سری فوریه از گروه سری‌های نامتناهی است که به معنی وجود بینهایت عبارت در فرمول بسط آن است. ما نمیتوانیم به طور نامحدود محاسبه این عبارتها را انجام دهیم. برای تجزیه یک تابع پیچیده به صورت بسط سری فوریه، باید تعداد این عبارتها محدود شوند که این فرآیند بر روی همگرایی سری تاثیرگذار است. همگرایی بر پایه معیار مشخصی است. شاخه مستقل دیگری از ریاضیات وجود دارد تحت عنوان “تحلیل هارمونیکهای کلاسیک” که درباره همگرایی بحث میکند. همگرایی معمولا بر روی مجموع جزئی که جمع تمامی عبارتها تا جایی که محاسبه ضراب صورت گرفته است، انجام میشود.

 

مثال

 

تابع متناوب زیر را در نظر بگیرید:

 

f(x)=\begin{Bmatrix} 1 & 0<x<\pi\\ -1 & -\pi<x<0 \end{Bmatrix}

 

تحقیق شکل نمودار تابع مشخص میکند که تابع تقارن فرد دارد. بنابراین کافیست که تنها عبارتهای سینوسی بسط سری فوریه محاسبه شوند.

 

شکل 3- شکل تابع با تقارن فرد

 

محاسبه سری فوریه سینوسی

 

 

b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{\-pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{\-pi}^{\0}(-1)sin(nx)dx+\frac{1}{\pi}\int_{\0}^{\pi}(+1)sin(nx)dx

 

=\frac{1}{n\pi}cos(nx)\left\{\begin{matrix} 0\\-\pi \end{matrix}\right. -\frac{1}{n\pi}cos(nx)\left\{\begin{matrix} \pi\\0 \end{matrix}\right.

 

=\frac{1}{n\pi}(1+1)-\frac{1}{n\pi}(-1-1)=\frac{4}{n\pi}

 

بنابراین بسط کامل سری فوریه تابع f(x) به صورت زیر است:

 

f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n}

 

توجه کنید که عبارتهای سینوسی زمانیکه n مقدار زوج داشته باشد n=(0, 2, 4, ...) ناپدید میشوند (صفر میشوند). به همین دلیل بسط بالا به شکل زیر میتواند ساده شود:

 

f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n}

 

 

شبیه سازی متلب

 

شبیه‌سازی متلب که در ادامه آمده است بسط سری فوریه را برای تابع بالا محاسبه میکند. مجموع جزئی به توجه به معیار خطا رسم میشود. تابع f(x) مقدار +1 یا -1 را اختیار میکند. مجموع جزئی در هر تکرار محاسبه میشود و با مقادیر +1 و -1 مقایسه میشود و تا زمانیکه خطا به مقدار 0.01 نرسیده باشد، این کار ادامه پیدا میکند.

 

%Author Mathuranathan Viswanathan for https://gaussianwaves.com

%Creative Commons CC-BY-NC-SA

%If you use this piece of code you must attribute the author

clearvars;

clc;

time=linspace(-pi,pi,1000);

partial_sum=0;

%Complex Function represented in terms of time and amplitude value

t=[-pi,-pi,0,0,pi,pi];

value=[0,-1,-1,1,1,-1];

handle1=line(t,value,‘color’,‘r’,‘linewidth’,2);

grid on;

hold on;

axis([-pi pi -1.5 1.5])

%Since the given complex function exhibits odd periodic extension

%only Bn term is valid with n=1,3,5,…

for n=1:2:200 %Odd terms to consider for partial sums

    %Plot 1 period of the given function   

    partial_sum=partial_sum+(4/(n*pi))*sin(n*time); %Fourier Series Expansion using Sine terms

    error=mean((abs(partial_sum)-1).^2); %Error Criteria

    handle2=plot(time,partial_sum,‘k’,‘linewidth’,2);

    title([‘Square Wave Partial Sum:  n = ‘,num2str(n),‘  Error = ‘,num2str(error)])

    pause

    set(handle2,‘Visible’,‘off’);

    if error<0.01

        break

    end

end

نمودارهای زیر نشان میدهد که خطا با افزایش تعداد عبارتهای سری فوریه، کمتر میشود.

 

شکل 4- نمودارهای شبیه‌سازی که نقش مجموع جزئی در بسط سری فوریه را نشان میدهد

 

 

درک نمودارها

 

در نمودار اول، موج مربعی اصلی (رنگ قرمز) به سه عبارت اول سری فوریه (n=3) تجزیه شده است. نمودار با رنگ مشکی نشان میدهد که چگونه سیگنال بازسازی شده حاصل از جمع سه عبارت تجزیه شده، شبیه سیگنال اصلی میشود. هر چه این در این فرآیند با افزایش تعداد عبارتهای سری فوریه، پیشروی کنیم (n=7, 15, 41, ...)، شکل نمودار مشکی رنگ به طور فزاینده‌ای شبیه موج مربعی اصلی میشود.

دقت کنید که اثر نوسانی (ringing) در گوشه‌های نمودار مشکی رنگ با افزایش عبارتهای سری، زیادتر میشود. این پدیده تحت عنوان پدیده گیبز (Gibbs Phenomenon) شناخته میشود. با توجه به اینکه سری فویه یک سری نامتناهی است، کار محاسبه جمله‌های سری در یک نقطه باید متوقف شود و این کار باعث وقوع پدیده گیبز میشود.

 

 

 

 

 

منبع: http://www.gaussianwaves.com